উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু দড়িটি হালকা ও মসৃণ এবং এর ভেতর দিয়ে ওজন অবাধে গড়িয়ে চলতে পারে, তাই সাম্যাবস্থায় দড়ির দুই অংশে টান সমান হবে ($T_1 = T_2$)।

   আমরা জানি, দুই প্রান্তে আবদ্ধ নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের দড়িতে অবাধে ঝুলন্ত কণার সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে, যার উপকেন্দ্রদ্বয় হলো $A$ ও $B$। অতএব, ওজনটি উপবৃত্তের সর্বনিম্ন বিন্দুতে অবস্থান নেবে এবং সাম্যাবস্থায় উলম্ব রেখার সাথে দড়ির দুই অংশ সমান কোণ উৎপন্ন করে ঝুলে থাকবে।

   চিত্রের বর্ণনা:
   $A$ ও $B$ বিন্দুকে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত উপবৃত্তাকার পথের সর্বনিম্ন বিন্দু $C$-তে ওজনটি উলম্বভাবে ঝুলবে, যেখানে দড়ির অংশদ্বয় $AC$ ও $BC$ উলম্বের সাথে সমান কোণ তৈরি করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-২ অনুসারে, দড়িটি মসৃণ হওয়ায় এর ভেতর দিয়ে অবাধে ওজন চলায় দড়ির উভয় অংশে টানের মান সমান হবে।
   অর্থাৎ, $AC$ অংশের টান = $BC$ অংশের টান = $T = 10.36\text{ N}$।

   যেহেতু টান সমান, তাই আনুভূমিক রেখা $AB$ এর সাথে দড়িদ্বয়ের কোণ সমান হবে:
   $\angle CAB = \angle CBA = 75^\circ$

   অতএব, ত্রিভুজ $ABC$-তে,
   $\angle ACB = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ$

   উলম্ব রেখা $CL$ কোণ $\angle ACB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
   সুতরাং, উলম্বের সাথে প্রতিটি অংশের কোণ $\theta = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$।

   $C$ বিন্দুতে উলম্ব বরাবর বলসমূহের সাম্যাবস্থার সমীকরণ থেকে পাই:
   $W = 2 T \cos 15^\circ$
   $W = 2 \times 10.36 \times \cos 15^\circ$
   $W = 20.72 \times 0.9659 \approx 20.01\text{ N}$

   নির্ণেয় $W$ এর মান $20.01\text{ N}$ (বা প্রায় $20\text{ N}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-৩ এ $C$ বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকা বলসমূহ:
   ১. $CA$ বরাবর ঊর্ধ্বমুখী টান $= 10\text{ N}$
   ২. $CB$ বরাবর টান $= T_1$, যা উলম্ব $AC$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণে ক্রিয়াশীল
   ৩. আনুভূমিক বরাবর টান $= T_2$ (বামদিকে)
   ৪. উলম্বভাবে নিচের দিকে ঝুলন্ত ওজন $W = mg = 20\text{ kg} \times 9.8\text{ ms}^{-2} = 196\text{ N}$

   $C$ বিন্দুতে বলগুলোর উলম্ব উপাংশ বিবেচনা করে পাই:
   $10 + T_1 \cos 45^\circ = 196$
   $\Rightarrow T_1 \cos 45^\circ = 196 - 10 = 186$
   $\Rightarrow T_1 = \frac{186}{\cos 45^\circ} = 186 \times \sqrt{2} \approx 263.04\text{ N}$

   আবার, আনুভূমিক উপাংশ বিবেচনা করে পাই:
   $T_2 = T_1 \sin 45^\circ$
   $\Rightarrow T_2 = 186\text{ N}$

   অতএব, $T_1 = 263.04\text{ N}$ এবং $T_2 = 186\text{ N}$।