উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \ln(1+x) \, dx$
   ইউ-ভি পদ্ধতিতে ইন্টিগ্রেশন করে পাই:
   $I = \ln(1+x) \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}[\ln(1+x)] \int 1 \, dx \right) dx$
   $= x \ln(1+x) - \int \frac{x}{1+x} \, dx$
   $= x \ln(1+x) - \int \frac{1+x-1}{1+x} \, dx$
   $= x \ln(1+x) - \int \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) dx$
   $= x \ln(1+x) - x + \ln(1+x) + C$
   $= (x+1) \ln(1+x) - x + C$ (যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত, $f(x) = \frac{2x+1}{(x^2+4)(x-1)}$
   আমাদের $\int f(x) \, dx$ নির্ণয় করতে হবে।
   ধরি, $\frac{2x+1}{(x^2+4)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$
   বা, $2x+1 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)$

   $x = 1$ বসিয়ে পাই,
   $2(1)+1 = A(1^2+4) + 0 \implies 3 = 5A \implies A = \frac{3}{5}$

   সহগ সমীকৃত করে পাই:
   $x^2$ এর সহগ: $A + B = 0 \implies B = -A = -\frac{3}{5}$
   ধ্রুবক পদ: $4A - C = 1 \implies C = 4A - 1 = 4\left(\frac{3}{5}\right) - 1 = \frac{7}{5}$

   অতএব,
   $\int f(x) \, dx = \int \left[ \frac{3/5}{x-1} + \frac{-\frac{3}{5}x + \frac{7}{5}}{x^2+4} \right] dx$
   $= \frac{3}{5} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{3}{10} \int \frac{2x}{x^2+4} \, dx + \frac{7}{5} \int \frac{1}{x^2+2^2} \, dx$
   $= \frac{3}{5} \ln|x-1| - \frac{3}{10} \ln(x^2+4) + \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C$
   $= \frac{3}{5} \ln|x-1| - \frac{3}{10} \ln(x^2+4) + \frac{7}{10} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C$ (যেখানে $C$ সমাকলন ধ্রুবক)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = x^2$
   সুতরাং প্রথম বক্ররেখা: $y = 4g(x) \implies y = 4x^2$
   দ্বিতীয় রেখা: $y = 2x$

   ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   $4x^2 = 2x$
   $\implies 2x(2x - 1) = 0$
   $\implies x = 0$ অথবা $x = \frac{1}{2}$

   অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{0}^{1/2} (y_1 - y_2) \, dx$
   $= \int_{0}^{1/2} (2x - 4x^2) \, dx$
   $= \left[ x^2 - \frac{4x^3}{3} \right]_0^{1/2}$
   $= \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 0$
   $= \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$ বর্গ একক।