উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বামপক্ষ $= \sin 44^\circ + \cos 44^\circ$
   $= \cos(90^\circ - 44^\circ) + \cos 44^\circ$
   $= \cos 46^\circ + \cos 44^\circ$
   আমরা জানি, $\cos C + \cos D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$
   $= 2\cos\left(\frac{46^\circ+44^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{46^\circ-44^\circ}{2}\right)$
   $= 2\cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{2^\circ}{2}\right)$
   $= 2\cos 45^\circ \cos 1^\circ$
   $= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 1^\circ$
   $= \sqrt{2}\cos 1^\circ =$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $h(x) = \sin mx$ এবং $m = 4$।
   $\therefore y = h(x) = \sin 4x$, যেখানে $0^\circ \le x \le 180^\circ$।

   $x$-এর বিভিন্ন মানের জন্য $y$-এর মান নির্ণয়ের ছক তৈরি করি (১৫° ব্যবধানে):

   $x$	$0^\circ$	$15^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$75^\circ$	$90^\circ$	$105^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$165^\circ$	$180^\circ$
   $4x$	$0^\circ$	$60^\circ$	$120^\circ$	$180^\circ$	$240^\circ$	$300^\circ$	$360^\circ$	$420^\circ$	$480^\circ$	$540^\circ$	$60^\circ$	$660^\circ$	$720^\circ$
   $y = \sin 4x$	$0$	$0.87$	$0.87$	$0$	$-0.87$	$-0.87$	$0$	$0.87$	$0.87$	$0$	$-0.87$	$-0.87$	$0$

   লেখচিত্র অঙ্কন পদ্ধতি:
   ১. ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর সুবিধাজনক স্কেল (যেমন: ক্ষুদ্রতম বর্গের ৫ ঘর = ১৫°) এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের ১০ ঘর = ১ একক ধরি।
   ২. ছকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি $(0^\circ, 0)$, $(15^\circ, 0.87)$, $(30^\circ, 0.87)$, $(45^\circ, 0)$, ..., $(180^\circ, 0)$ স্থাপন করি।
   ৩. বিন্দুগুলোকে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ব্যবধিতে $h(x) = \sin 4x$-এর লেখচিত্র পাওয়া যাবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুসারে, বৃত্তের কেন্দ্র $B$ এবং ব্যাসার্ধ $r = AB = 5$ সে.মি.।
   চিত্রটিতে প্রদর্শিত কোণ $\angle ABC = 50^\circ$।

   সুতরাং, গাঢ় বা চিহ্নিত বৃহত্তর বৃত্তকলাংশের কেন্দ্রস্থ কোণ,
   $\theta = 360^\circ - 50^\circ = 310^\circ$

   আমরা জানি, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
   $= \frac{310^\circ}{360^\circ} \times 3.1416 \times 5^2$ বর্গ সে.মি.
   $= \frac{31}{36} \times 3.1416 \times 25$ বর্গ সে.মি.
   $\approx 67.63$ বর্গ সে.মি.

   উত্তর: গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল প্রায় $67.63$ বর্গ সে.মি.।