উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: দুটি বেগের বৃহত্তম লব্ধি এদের ক্ষুদ্রতম লদ্ধির দ্বিগুণ। বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha হলে লব্ধি বেগের মান এদের সমষ্টির অর্ধেক হয়।উদ্দীপক-২: u বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার একই আনুভূমিক পাল্লা (R) এর জন্য দুটি বিচরণ পথের বিচরণকাল t1 ও t2. t_{1} ও t_{2} .

  1. ক)

    u আদি বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বিচরণকাল নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ হতে α \alpha এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ হতে দেখাও যে,R=12t1t2 R=\frac{1}{2} \mathrm{t}{1} \mathrm{t}{2}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, বস্তুটি u আদিবেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হলো। সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে এবং পুনরায় ভূমিতে ফিরে আসতে মোট সময়কে বিচরণকাল (T) বলে।
    আমরা জানি, বিচরণকাল শেষে বস্তুর উলম্ব সরণ h = 0।
    সুতরাং, h = ut - (1/2)gt²
    => 0 = uT - (1/2)gT²
    => T(u - (1/2)gT) = 0
    যেহেতু T ≠ 0, তাই
    u - (1/2)gT = 0
    => (1/2)gT = u
    => T = 2u/g

    অতএব, নির্ণেয় বিচরণকাল T = 2u/g।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, বেগ দুটি হলো u এবং v (যেখানে u > v)।
    শর্তানুসারে,
    বৃহত্তম লব্ধি = u + v
    ক্ষুদ্রতম লব্ধি = u - v

    প্রথম শর্তমতে,
    u + v = 2(u - v)
    => u + v = 2u - 2v
    => 2u - u = v + 2v
    => u = 3v ... (i)

    দ্বিতীয় শর্তমতে, বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α হলে এদের লব্ধির মান হয় বেগদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক, অর্থাৎ (u + v)/2।
    আমরা জানি,
    লব্ধির বর্গ, R² = u² + v² + 2uv cos α
    => [(u + v)/2]² = u² + v² + 2uv cos α
    => (u + v)² / 4 = u² + v² + 2uv cos α

    (i) নং হতে u = 3v বসিয়ে পাই,
    (3v + v)² / 4 = (3v)² + v² + 2(3v)(v) cos α
    => (4v)² / 4 = 9v² + v² + 6v² cos α
    => 16v² / 4 = 10v² + 6v² cos α
    => 4v² = 10v² + 6v² cos α
    => 6v² cos α = 4v² - 10v²
    => 6v² cos α = -6v²
    => cos α = -1
    => α = cos⁻¹(-1) = 180°

    [বিকল্প ব্যাখ্যা: যদি প্রশ্নে লব্ধি বেগের মান এদের অন্তরের অর্ধেক বা অন্য রূপ থাকত তবে ভিন্ন মান আসত। প্রদত্ত শর্তানুসারে u=3v এবং লব্ধি = 2v, ফলে cos α = -1 অর্থাৎ α = 180° বা π]।

    নির্ণেয় α এর মান 180° বা π।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, u বেগে নিক্ষিপ্ত কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর একই আনুভূমিক পাল্লা R-এর জন্য দুটি প্রক্ষেপণ কোণ থাকে, যা পরস্পর পূরক কোণ।
    ধরি, একটি প্রক্ষেপণ কোণ α হলে অপরটি (90° - α)।

    আনুভূমিক পাল্লা, R = (u² sin 2α) / g ... (i)

    প্রথম ক্ষেত্রে বিচরণকাল,
    t₁ = (2u sin α) / g ... (ii)

    দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিচরণকাল,
    t₂ = (2u sin(90° - α)) / g = (2u cos α) / g ... (iii)

    এখন, (ii) ও (iii) গুণ করে পাই,
    t₁ · t₂ = (2u sin α / g) · (2u cos α / g)
    => t₁ t₂ = (2 / g) · [(u² · 2 sin α cos α) / g]
    => t₁ t₂ = (2 / g) · [(u² sin 2α) / g]

    (i) নং সমীকরণ হতে [(u² sin 2α) / g] = R বসিয়ে পাই,
    t₁ t₂ = (2 / g) · R
    => 2R / g = t₁ t₂
    অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 1 একক (বা g সমীকরণে অনুচ্চারিত থাকলে),
    R = (1/2) g t₁ t₂।
    প্রশ্নের সম্পর্কটি আদর্শভাবে R = (1/2) g t₁ t₂ নির্দেশ করে। অভিকর্ষীয় এককে বা ধ্রুবক g সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত ধরে,
    R = (1/2) t₁ t₂ (প্রমাণিত/দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন