উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
   প্রথম ক্ষেত্রে, $3$ ও $2$ একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি $R$।
   $\therefore R^2 = 3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos\alpha$
   বা, $R^2 = 9 + 4 + 12\cos\alpha = 13 + 12\cos\alpha$ ..... (i)

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, $6$ ও $2$ একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি $2R$।
   $\therefore (2R)^2 = 6^2 + 2^2 + 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos\alpha$
   বা, $4R^2 = 36 + 4 + 24\cos\alpha = 40 + 24\cos\alpha$ ..... (ii)

   সমীকরণ (i)-কে $4$ দ্বারা গুণ করে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করি:
   $4R^2 - 4R^2 = 4(13 + 12\cos\alpha) - (40 + 24\cos\alpha)$
   বা, $0 = 52 + 48\cos\alpha - 40 - 24\cos\alpha$
   বা, $0 = 12 + 24\cos\alpha$
   বা, $24\cos\alpha = -12$
   বা, $\cos\alpha = -\frac{12}{24} = -\frac{1}{2}$
   বা, $\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$ বা $\frac{2\pi}{3}$

   নির্ণেয় মান: $\alpha = 120^\circ$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $F$ ও $G$ সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল এবং তাদের লব্ধি $(F + G)$ বিন্দু $C$-তে ক্রিয়া করে।
   সদৃশ সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
   $F \cdot AC = G \cdot BC$ ..... (i)

   এখন, বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ $A$ বিন্দুতে $G$ এবং $B$ বিন্দুতে $F$ বল ক্রিয়া করলে, এবং লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু অপরিবর্তিত অর্থাৎ $C$-তেই থাকলে,
   $G \cdot AC = F \cdot BC$ ..... (ii)

   (i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{F \cdot AC}{G \cdot AC} = \frac{G \cdot BC}{F \cdot BC}$
   বা, $\frac{F}{G} = \frac{G}{F}$
   বা, $F^2 = G^2$
   যেহেতু বলের মান সর্বদা ধনাত্মক ($F > 0, G > 0$),
   $\therefore F = G$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, উদ্দীপক অনুসারে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে $F$ ও $G$ এবং তাদের লব্ধি $AB$ রেখার উপর অবস্থিত $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, $F \cdot AC = G \cdot BC$
   বা, $F \cdot AC = G(AB - AC)$
   বা, $F \cdot AC + G \cdot AC = G \cdot AB$
   বা, $(F + G)AC = G \cdot AB$
   বা, $AC = \frac{G}{F + G}AB$ ..... (i)

   বলদ্বয়ের অবস্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ $A$ বিন্দুতে $G$ এবং $B$ বিন্দুতে $F$ বল ক্রিয়া করলে ধরি লব্ধি $C'$ বিন্দুতে সরে যায়।
   যেহেতু $F > G$, তাই নতুন লব্ধির বিন্দু $C'$, $B$-এর কাছাকাছি যাবে।
   নতুন ক্ষেত্রে,
   $G \cdot AC' = F \cdot BC'$
   বা, $G \cdot AC' = F(AB - AC')$
   বা, $(F + G)AC' = F \cdot AB$
   বা, $AC' = \frac{F}{F + G}AB$ ..... (ii)

   প্রশ্নমতে, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $x$ দূরত্বে সরে যায়, অর্থাৎ $CC' = x$।
   $\therefore x = AC' - AC$
   বা, $x = \frac{F}{F + G}AB - \frac{G}{F + G}AB$
   বা, $x = \frac{F - G}{F + G}AB$ (প্রমাণিত)।