উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $x^2 + i 2\sqrt{2}x + 16 = 0$
   যেহেতু $-16 = (4i)^2$ বা আমরা লিখতে পারি $16 = -(4\sqrt{2}i)(2\sqrt{2}i)$ কারণ $(4\sqrt{2}i)(-2\sqrt{2}i) = -16 i^2 = 16$:
   $\implies x^2 + 4\sqrt{2}ix - 2\sqrt{2}ix + 16 = 0$
   $\implies x(x + 4\sqrt{2}i) - 2\sqrt{2}i(x + 4\sqrt{2}i) = 0$
   [যেহেতু $-2\sqrt{2}i \cdot 4\sqrt{2}i = -16 i^2 = 16$]
   $\implies (x + 4\sqrt{2}i)(x - 2\sqrt{2}i) = 0$

   হয়, $x + 4\sqrt{2}i = 0 \implies x = -4\sqrt{2}i$
   অথবা, $x - 2\sqrt{2}i = 0 \implies x = 2\sqrt{2}i$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = 2\sqrt{2}i, -4\sqrt{2}i$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 - 5x + 4 = 0$
   এর মূলদ্বয় $a, b$।
   $\therefore a + b = 5$
   $ab = 4$

   এখন,
   $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2(4) = 25 - 8 = 17$
   $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 5^3 - 3(4)(5) = 125 - 60 = 65$

   $a^2 + b^2$ ও $a^3 + b^3$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে:
   $x^2 - ( (a^2+b^2) + (a^3+b^3) )x + (a^2+b^2)(a^3+b^3) = 0$
   $\implies x^2 - (17 + 65)x + (17 \times 65) = 0$
   $\implies x^2 - 82x + 1105 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 82x + 1105 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = px^2 + qx + r = 0$, যেখানে $p \neq 0$।
   উভয়পক্ষকে $4p$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $4p^2 x^2 + 4pq x + 4pr = 0$
   $\implies (2px)^2 + 2 \cdot (2px) \cdot q + q^2 - q^2 + 4pr = 0$
   $\implies (2px + q)^2 = q^2 - 4pr$
   $\implies 2px + q = \pm \sqrt{q^2 - 4pr}$
   $\implies 2px = -q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}$
   $\implies x = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p}$

   পৃথায়কের ব্যাখ্যা:
   এখানে রাশি $D = q^2 - 4pr$-কে সমীকরণটির পৃথায়ক বা নিশ্চায়ক (Discriminant) বলা হয়। কারণ এটি মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ধারণ করে:
   ১. $D > 0$ হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। (যদি $p, q, r$ মূলদ হয় এবং $D$ পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে; অন্যথায় অমূলদ হবে)।
   ২. $D = 0$ হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান (উভয় মূলই $-\frac{q}{2p}$) হবে।
   ৩. $D < 0$ হলে মূলদ্বয় অবাস্তব/জটিল ও অনুবন্ধী যুগল হবে।