উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $4x^2 - 9y^2 = 36$
   বা, $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$

   এখানে, $a = 3$ এবং $b = 2$।

   আমরা জানি, $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ:
   $y = \pm \frac{b}{a}x$
   বা, $y = \pm \frac{2}{3}x$
   বা, $3y = \pm 2x$
   বা, $2x \pm 3y = 0$

   নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ: $2x + 3y = 0$ এবং $2x - 3y = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ হতে পাই,
   $16x^2 + 25y^2 - 32x + 100y - 284 = 0$
   বা, $16(x^2 - 2x) + 25(y^2 + 4y) = 284$
   বা, $16(x^2 - 2x + 1) + 25(y^2 + 4y + 4) = 284 + 16(1) + 25(4)$
   বা, $16(x - 1)^2 + 25(y + 2)^2 = 284 + 16 + 100 = 400$
   উভয়পক্ষকে $400$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 1)^2}{25} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$
   বা, $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$
   যেখানে, $X = x - 1$, $Y = y + 2$, $a^2 = 25 \implies a = 5$ এবং $b^2 = 16 \implies b = 4$।

   যেহেতু $a > b$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

   উপবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $X = \pm \frac{a}{e}$
   বা, $x - 1 = \pm \frac{5}{\frac{3}{5}}$
   বা, $x - 1 = \pm \frac{25}{3}$
   বা, $3(x - 1) = \pm 25$
   বা, $3x - 3 = \pm 25$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $3x - 3 = 25 \implies 3x - 28 = 0$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $3x - 3 = -25 \implies 3x + 22 = 0$

   নির্ণেয় নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $3x - 28 = 0$ এবং $3x + 22 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এর চিত্র অনুযায়ী পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(0, 4)$ এবং অক্ষ Y-অক্ষ বরাবর অবস্থিত এবং পরাবৃত্তটি নিচের দিকে উন্মুক্ত।

   সুতরাং শীর্ষবিন্দু $(0, 4)$ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 0)^2 = -4a'(y - 4)$
   বা, $x^2 = -4a'(y - 4) \quad \text{--- (i)}$

   চিত্রানুসারে, পরাবৃত্তটি $P(6, 0)$ বিন্দুগামী। সুতরাং,
   $6^2 = -4a'(0 - 4)$
   বা, $36 = 16a'$
   বা, $4a' = \frac{36}{4} = 9$

   (i) নং সমীকরণে $4a'$ এর মান বসিয়ে পাই,
   $x^2 = -9(y - 4) \quad \text{--- (ii)}$

   দেওয়া আছে, $OC = 3$ একক এবং $C$ বিন্দুটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত।
   সুতরাং, $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, 0)$।
   যেহেতু $CB$ রেখাটি X-অক্ষের ওপর লম্ব এবং পরাবৃত্তের পরিধির $B$ বিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত, তাই $B$ বিন্দুর ভুজ $x = 3$।

   (ii) নং সমীকরণে $x = 3$ বসিয়ে পাই,
   $3^2 = -9(y - 4)$
   বা, $9 = -9(y - 4)$
   বা, $y - 4 = -1$
   বা, $y = 3$

   অতএব, $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, 3)$।
   সুতরাং, $CB$ রেখার দৈর্ঘ্য = $B$ বিন্দুর কোটি - $C$ বিন্দুর কোটি
   $= 3 - 0 = 3\text{ একক।}$

   নির্ণেয় $CB$ রেখার দৈর্ঘ্য $3$ একক।