উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

   মনে করি, $u = \cos x$
   $\therefore du = -\sin x \, dx \Rightarrow \sin x \, dx = -du$

   $\therefore I = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + c = -\ln|\cos x| + c$
   $= \ln|(\cos x)^{-1}| + c = \ln|\sec x| + c$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x+1$ এবং $g(x) = e^x$
   $\therefore f(x-1) = (x-1) + 1 = x$
   এবং $\{f(x)\}^2 = (x+1)^2$

   প্রদত্ত যোগজ,
   $I = \int \frac{f(x-1) g(x)}{\{f(x)\}^2} \, dx = \int \frac{x e^x}{(x+1)^2} \, dx$
   $= \int e^x \left[ \frac{x}{(x+1)^2} \right] dx$
   $= \int e^x \left[ \frac{(x+1) - 1}{(x+1)^2} \right] dx$
   $= \int e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] dx$

   আমরা জানি, $\int e^x [u(x) + u'(x)] dx = e^x u(x) + c$
   এখানে, $u(x) = \frac{1}{x+1}$ হলে, $u'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$
   $\therefore I = \frac{e^x}{x+1} + c$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x+1$
   $\therefore f(x-1) = x$
   তাহলে, $\{f(x-1)\}^2 = x^2$

   প্রদত্ত যোগজ,
   $I = \int_{-2}^{2} x^2 \sqrt{16 - x^2} \, dx$
   যেহেতু $F(x) = x^2 \sqrt{16-x^2}$ একটি যুগ্ন অপেক্ষক ($F(-x) = F(x)$),
   $\therefore I = 2 \int_{0}^{2} x^2 \sqrt{16 - x^2} \, dx$

   ধরি, $x = 4 \sin\theta \Rightarrow dx = 4 \cos\theta \, d\theta$
   যখন $x = 0$, $\theta = 0$; যখন $x = 2$, $\sin\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$

   $\therefore I = 2 \int_{0}^{\pi/6} (16\sin^2\theta) \sqrt{16 - 16\sin^2\theta} \cdot (4\cos\theta \, d\theta)$
   $= 2 \int_{0}^{\pi/6} (16\sin^2\theta) (4\cos\theta) (4\cos\theta) \, d\theta$
   $= 2 \times 256 \int_{0}^{\pi/6} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta$
   $= 512 \int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{4} (2\sin\theta\cos\theta)^2 d\theta$
   $= 128 \int_{0}^{\pi/6} \sin^2(2\theta) \, d\theta$
   $= 64 \int_{0}^{\pi/6} 2\sin^2(2\theta) \, d\theta$
   $= 64 \int_{0}^{\pi/6} (1 - \cos 4\theta) \, d\theta$
   $= 64 \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_{0}^{\pi/6}$
   $= 64 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sin(2\pi/3)}{4} - (0 - 0) \right]$
   $= 64 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}/2}{4} \right] = 64 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right]$
   $= \frac{32\pi}{3} - 8\sqrt{3}$ (Ans.)