উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $x^3 - 7x^2 + 8x + 10 = 0$

   এখানে, ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,
   $\Sigma \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{x\text{ এর সহগ}}{x^3\text{ এর সহগ}} = \frac{8}{1} = 8$

   অতএব, $\Sigma \alpha\beta$ এর মান $8$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = 3x + 1$
   $\therefore f(x - 2) = 3(x - 2) + 1 = 3x - 6 + 1 = 3x - 5$

   প্রদত্ত অসমতা:
   $2 |f(x - 2)| \le 1$
   $\Rightarrow |3x - 5| \le \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow -\frac{1}{2} \le 3x - 5 \le \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow 5 - \frac{1}{2} \le 3x \le 5 + \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow \frac{9}{2} \le 3x \le \frac{11}{2}$
   $\Rightarrow \frac{3}{2} \le x \le \frac{11}{6}$

   নির্ণেয় সমাধান সেট: $S = \left\{x \in \mathbb{R} : \frac{3}{2} \le x \le \frac{11}{6}\right\} = \left[\frac{3}{2}, \frac{11}{6}\right]$

   সংখ্যারেখায় সমাধান:
   একটি বাস্তব সংখ্যারেখায় $\frac{3}{2}$ এবং $\frac{11}{6}$ বিন্দু দুটিকে ভরাট গোলক দিয়ে চিহ্নিত করে তাদের মধ্যবর্তী অংশকে গাঢ় রেখা দ্বারা সংযুক্ত করা হলো:
   <---|---|===|---|--->
   0 1.5 1.83 2
   (যেখানে $1.5 = \frac{3}{2}$ এবং $1.83 \approx \frac{11}{6}$ উভয় প্রান্তবিন্দু অন্তর্ভুক্ত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, $|z - 5| = 3$
   এখানে, $z = x + iy$
   $\therefore |(x + iy) - 5| = 3$
   $\Rightarrow |(x - 5) + iy| = 3$
   $\Rightarrow \sqrt{(x - 5)^2 + y^2} = 3$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $(x - 5)^2 + y^2 = 3^2$ বা, $(x - 5)^2 + y^2 = 9$

   এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র $(5, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 3$ একক।
   অতএব, সঞ্চারপথটি জ্যামিতিকভাবে একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।

   চিত্রের বর্ণনা:
   দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $X$-অক্ষের উপর ধনাত্মক দিকে কেন্দ্র $(5,0)$ চিহ্নিত করে $3$ একক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তটি আঁকা হয়, যা $X$-অক্ষকে $(2,0)$ ও $(8,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $Y$-অক্ষকে ছেদ করে না।