উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: 25x^2 + 16y^2 = 400
   উভয়পক্ষকে 400 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   x^2/16 + y^2/25 = 1
   বা, x^2/4^2 + y^2/5^2 = 1
   এখানে, a = 4, b = 5। যেহেতু b > a, সেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা,
   e = \sqrt{1 - a^2/b^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2a^2 / b = (2 × 16) / 5 = 32/5 একক।

   উত্তর: উৎকেন্দ্রিকতা 3/5 এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 32/5 একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী উপবৃত্তের সমীকরণ:
   25x^2 + ky^2 - 25k = 0
   বা, 25x^2 + ky^2 = 25k
   বা, x^2/k + y^2/25 = 1 ... (i)

   উপবৃত্তটি (6, 4) বিন্দুগামী হওয়ায়,
   6^2/k + 4^2/25 = 1
   বা, 36/k + 16/25 = 1
   বা, 36/k = 1 - 16/25 = 9/25
   বা, 9k = 36 × 25
   বা, k = 4 × 25 = 100

   সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: x^2/100 + y^2/25 = 1
   এখানে, a^2 = 100 ⇒ a = 10 এবং b^2 = 25 ⇒ b = 5।
   যেহেতু a > b, তাই উৎকেন্দ্রিকতা,
   e = \sqrt{1 - b^2/a^2} = \sqrt{1 - 25/100} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3}/2

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = (±ae, 0) = (±10 × (\sqrt{3}/2), 0) = (±5\sqrt{3}, 0)।

   উত্তর: k = 100, উৎকেন্দ্রিকতা = \sqrt{3}/2 এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (±5\sqrt{3}, 0)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   উপকেন্দ্র, S = (1, 1)
   উৎকেন্দ্রিকতা, e = \sqrt{3}
   নিয়ামক রেখার সমীকরণ, x + 2y - 1 = 0

   অধিবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে, সংজ্ঞা অনুসারে:
   SP = e × PM [যেখানে PM হলো P বিন্দু থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব]
   বা, SP^2 = e^2 × PM^2
   বা, (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 × |(x + 2y - 1)/\sqrt{1^2 + 2^2}|^2
   বা, (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 3 × ((x + 2y - 1)^2 / (1 + 4))
   বা, x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = (3/5) [x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 4y - 2x]
   বা, 5(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2) = 3(x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1)
   বা, 5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 10 = 3x^2 + 12y^2 + 12xy - 6x - 12y + 3
   বা, 5x^2 - 3x^2 - 12xy + 5y^2 - 12y^2 - 10x + 6x - 10y + 12y + 10 - 3 = 0
   বা, 2x^2 - 12xy - 7y^2 - 4x + 2y + 7 = 0

   উত্তর: নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ 2x^2 - 12xy - 7y^2 - 4x + 2y + 7 = 0।