উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত স্পর্শক রেখা দুটি: $x = 2$ এবং $x = 6$
   যেহেতু বৃত্তটি $x = 2$ ও $x = 6$ সমান্তরাল রেখা দুটিকে স্পর্শ করে, তাই বৃত্তটির ব্যাস হবে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   ব্যাস, $2r = 6 - 2 = 4 \implies r = 2$
   বৃত্তের কেন্দ্রের $x$-স্থানাঙ্ক হবে রেখা দুটির মধ্যবিন্দুর ভুজ, অর্থাৎ $h = \frac{2 + 6}{2} = 4$
   যেহেতু বৃত্তটি $x$-অক্ষ অর্থাৎ $y = 0$ রেখাকে স্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্রের $y$-স্থানাঙ্কের পরমমান হবে ব্যাসার্ধের সমান:
   $|k| = r = 2 \implies k = \pm 2$
   অতএব, বৃত্তটির সমীকরণ:
   $(x - 4)^2 + (y \mp 2)^2 = 2^2$
   $\implies (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4$ অথবা $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 4$
   $\implies x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$ অথবা $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়:
   $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ ... (i)
   $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 6x + 9y - 4 = 0$ ... (ii)

   বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ($S_1 - S_2 = 0$):
   $(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12) - (x^2 + y^2 - 6x + 9y - 4) = 0$
   $\implies 2x - 3y - 8 = 0$

   ১ম বৃত্তটির কেন্দ্র $C_1 = (2, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$

   $C_1(2, -3)$ কেন্দ্র থেকে সাধারণ জ্যা $2x - 3y - 8 = 0$-এর লম্বদূরত্ব $p$:
   $p = \frac{|2(2) - 3(-3) - 8|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 9 - 8|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$

   অতএব, সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য:
   $= 2\sqrt{r_1^2 - p^2} = 2\sqrt{5^2 - \left(\frac{5}{\sqrt{13}}\right)^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{13}} = 2\sqrt{\frac{325 - 25}{13}} = 2\sqrt{\frac{300}{13}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ একক বা $\frac{20\sqrt{39}}{13}$ একক। (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের ১ম বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
   এর কেন্দ্র $C_1 = (2, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = 5$
   নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $C_2 = (-3, 10)$
   কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-13)^2} = \sqrt{25 + 169} = \sqrt{194}$

   যেহেতু নতুন বৃত্তটি ১ম বৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাই স্পর্শটি বহিঃস্পর্শ বা অন্তঃস্পর্শ হতে পারে।
   ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2$।

   ক্ষেত্র ১: যদি বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে:
   $r_1 + r_2 = d \implies 5 + r_2 = \sqrt{194} \implies r_2 = \sqrt{194} - 5$
   তখন বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = (\sqrt{194} - 5)^2 = 194 - 10\sqrt{194} + 25 = 219 - 10\sqrt{194}$
   $\implies x^2 + y^2 + 6x - 20y + 109 = 219 - 10\sqrt{194}$
   $\implies x^2 + y^2 + 6x - 20y - 110 + 10\sqrt{194} = 0$

   ক্ষেত্র ২: যদি বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে:
   যেহেতু $d = \sqrt{194} \approx 13.93 > r_1 = 5$, তাই নির্ণেয় বৃত্তটি ১ম বৃত্তটিকে ধারণ করে অন্তঃস্পর্শ করবে।
   সুতরাং, $|r_2 - r_1| = d \implies r_2 - 5 = \sqrt{194} \implies r_2 = \sqrt{194} + 5$
   তখন বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = (\sqrt{194} + 5)^2 = 194 + 10\sqrt{194} + 25 = 219 + 10\sqrt{194}$
   $\implies x^2 + y^2 + 6x - 20y - 110 - 10\sqrt{194} = 0$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = (\sqrt{194} \pm 5)^2$ (Ans.)