উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   $5x^2 + 4y^2 = 1$
   $\implies \frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1$

   উপবৃত্তটির সমীকরণকে $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $a^2 = \frac{1}{5} \implies a = \frac{1}{\sqrt{5}}$
   $b^2 = \frac{1}{4} \implies b = \frac{1}{2}$

   যেহেতু $b > a$, তাই উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2a^2}{b}$
   $= \frac{2 \times \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{5} \times 2 = \frac{4}{5}$ একক।

   উত্তর: $\frac{4}{5}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ:
   $4x^2 + 6y^2 - 4x - 36y + 43 = 0$
   $\implies 4(x^2 - x) + 6(y^2 - 6y) = -43$
   $\implies 4\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + 6(y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 9) = -43 + 4\left(\frac{1}{4}\right) + 6(9)$
   $\implies 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 6(y - 3)^2 = -43 + 1 + 54$
   $\implies 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 6(y - 3)^2 = 12$

   উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2}{3} + \frac{(y - 3)^2}{2} = 1$

   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। এটিকে $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের প্রমিত সমীকরণে রূপান্তর করলে পাই:
   $X = x - \frac{1}{2}$, $Y = y - 3$
   $a^2 = 3 \implies a = \sqrt{3}$
   $b^2 = 2 \implies b = \sqrt{2}$

   যেহেতু $a > b$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $X = \pm \frac{a}{e}$
   $\implies x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$
   $\implies x - \frac{1}{2} = \pm 3$

   (+) চিহ্ন নিয়ে:
   $x - \frac{1}{2} = 3 \implies 2x - 1 = 6 \implies 2x - 7 = 0$

   (-) চিহ্ন নিয়ে:
   $x - \frac{1}{2} = -3 \implies 2x - 1 = -6 \implies 2x + 5 = 0$

   অতএব, কনিকটির প্রমিত সমীকরণ $\frac{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2}{(\sqrt{3})^2} + \frac{(y - 3)^2}{(\sqrt{2})^2} = 1$ এবং নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ $2x - 7 = 0$ ও $2x + 5 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ অনুযায়ী, কনিকটির উপকেন্দ্রদ্বয় $S(10, 5)$ ও $S'(8, 3)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{2}$।
   যেহেতু $e = \sqrt{2} > 1$, সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।

   কনিকটির কেন্দ্র $C$ হবে উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবিন্দু:
   $C = \left(\frac{10 + 8}{2}, \frac{5 + 3}{2}\right) = (9, 4)$

   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $SS' = 2ae = \sqrt{(10 - 8)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
   $\implies 2a \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \implies a = 1$

   অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে,
   $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 1^2((\sqrt{2})^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1 \implies b = 1$

   আর অক্ষের (Transverse axis) ঢাল, $m = \frac{3 - 5}{8 - 10} = \frac{-2}{-2} = 1$
   সুতরাং, আর অক্ষের সমীকরণ (যা কেন্দ্র $(9, 4)$ দিয়ে অতিক্রম করে):
   $y - 4 = 1(x - 9) \implies x - y - 5 = 0$

   অনুবন্ধী অক্ষের (Conjugate axis) ঢাল $= -1$ এবং সমীকরণ (যা কেন্দ্র $(9, 4)$ দিয়ে অতিক্রম করে):
   $y - 4 = -1(x - 9) \implies x + y - 13 = 0$

   কনিকটির উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ থেকে অনুবন্ধী অক্ষের লম্ব দূরত্ব $X$ এবং আর অক্ষের লম্ব দূরত্ব $Y$ হলে:
   $X = \frac{x - y - 5}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{x - y - 5}{\sqrt{2}}$
   $Y = \frac{x + y - 13}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{x + y - 13}{\sqrt{2}}$

   অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{\left(\frac{x - y - 5}{\sqrt{2}}\right)^2}{1^2} - \frac{\left(\frac{x + y - 13}{\sqrt{2}}\right)^2}{1^2} = 1$
   $\implies \frac{(x - y - 5)^2}{2} - \frac{(x + y - 13)^2}{2} = 1$
   $\implies (x - y - 5)^2 - (x + y - 13)^2 = 2$
   $\implies \{(x - y - 5) - (x + y - 13)\}\{(x - y - 5) + (x + y - 13)\} = 2$
   $\implies (-2y + 8)(2x - 18) = 2$
   $\implies -4(y - 4)(x - 9) = 2$
   $\implies 2(x - 9)(y - 4) = -1$
   $\implies 2(xy - 4x - 9y + 36) + 1 = 0$
   $\implies 2xy - 8x - 18y + 73 = 0$

   উত্তর: $2xy - 8x - 18y + 73 = 0$