উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

P=[4−130756−22]\mathrm{P}=\left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 3 \ 0 & 7 & 5 \ 6 & -2 & 2\end{array}\right] এবং, Q=[043−3−4−5−212]\mathrm{Q}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 4 & 3 \ -3 & -4 & -5 \ -2 & 1 & 2\end{array}\right]

  1. ক)

    P + Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, (PQ)t=QtPt(P Q)^{t}=Q^{t} P^{t}

    (4)
  3. গ)

    PR=RP=I\mathrm{PR}=\mathrm{RP}=\mathrm{I} হলে R ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে I একটি অভেদক।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=[4−130756−22]\mathrm{P} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix} এবং Q=[043−3−4−5−212]\mathrm{Q} = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    অতএব,
    P+Q=[4+0−1+43+30−37−45−56−2−2+12+2]=[436−3304−14]\mathrm{P} + \mathrm{Q} = \begin{bmatrix} 4+0 & -1+4 & 3+3 \\ 0-3 & 7-4 & 5-5 \\ 6-2 & -2+1 & 2+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 6 \\ -3 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 4 \end{bmatrix}

    আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হলো তার প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফল।
    সুতরাং, P+Q\mathrm{P} + \mathrm{Q} ম্যাট্রিক্সের ট্রেস =4+3+4=11= 4 + 3 + 4 = 11।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=[4−130756−22]\mathrm{P} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}, Q=[043−3−4−5−212]\mathrm{Q} = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    এখন,
    PQ=[4−130756−22][043−3−4−5−212]\mathrm{PQ} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}
    =[0+3−616+4+312+5+60−21−100−28+50−35+100+6−424+8+218+10+4]= \begin{bmatrix} 0+3-6 & 16+4+3 & 12+5+6 \\ 0-21-10 & 0-28+5 & 0-35+10 \\ 0+6-4 & 24+8+2 & 18+10+4 \end{bmatrix}
    =[−32323−31−23−2523432]= \begin{bmatrix} -3 & 23 & 23 \\ -31 & -23 & -25 \\ 2 & 34 & 32 \end{bmatrix}

    বামপক্ষ =(PQ)t=[−3−31223−233423−2532]= (\mathrm{PQ})^t = \begin{bmatrix} -3 & -31 & 2 \\ 23 & -23 & 34 \\ 23 & -25 & 32 \end{bmatrix}

    আবার,
    Qt=[0−3−24−413−52]\mathrm{Q}^t = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 4 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{bmatrix} এবং Pt=[406−17−2352]\mathrm{P}^t = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 6 \\ -1 & 7 & -2 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}

    ডানপক্ষ =QtPt=[0−3−24−413−52][406−17−2352]= \mathrm{Q}^t \mathrm{P}^t = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 4 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 6 \\ -1 & 7 & -2 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}
    =[0+3−60−21−100+6−416+4+30−28+524+8+212+5+60−35+1018+10+4]= \begin{bmatrix} 0+3-6 & 0-21-10 & 0+6-4 \\ 16+4+3 & 0-28+5 & 24+8+2 \\ 12+5+6 & 0-35+10 & 18+10+4 \end{bmatrix}
    =[−3−31223−233423−2532]= \begin{bmatrix} -3 & -31 & 2 \\ 23 & -23 & 34 \\ 23 & -25 & 32 \end{bmatrix}

    অতএব, (PQ)t=QtPt(\mathrm{PQ})^t = \mathrm{Q}^t \mathrm{P}^t (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, PR=RP=I\mathrm{PR} = \mathrm{RP} = \mathrm{I}
    সংজ্ঞানুসারে, R=P−1=1∣P∣adj⁡(P)\mathrm{R} = \mathrm{P}^{-1} = \frac{1}{|\mathrm{P}|} \operatorname{adj}(\mathrm{P})

    এখন, P=[4−130756−22]\mathrm{P} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}
    ∣P∣=4(14−(−10))−(−1)(0−30)+3(0−42)|\mathrm{P}| = 4(14 - (-10)) - (-1)(0 - 30) + 3(0 - 42)
    =4(24)+1(−30)+3(−42)= 4(24) + 1(-30) + 3(-42)
    =96−30−126=−60≠0= 96 - 30 - 126 = -60 \neq 0
    যেহেতু ∣P∣≠0|\mathrm{P}| \neq 0, তাই P−1\mathrm{P}^{-1} বিদ্যমান।

    P\mathrm{P} এর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
    A11=+∣75−22∣=14+10=24A_{11} = +\begin{vmatrix} 7 & 5 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 14 + 10 = 24
    A12=−∣0562∣=−(0−30)=30A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = -(0 - 30) = 30
    A13=+∣076−2∣=0−42=−42A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 42 = -42
    A21=−∣−13−22∣=−(−2+6)=−4A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 + 6) = -4
    A22=+∣4362∣=8−18=−10A_{22} = +\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 18 = -10
    A23=−∣4−16−2∣=−(−8+6)=2A_{23} = -\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = -(-8 + 6) = 2
    A31=+∣−1375∣=−5−21=−26A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = -5 - 21 = -26
    A32=−∣4305∣=−(20−0)=−20A_{32} = -\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -(20 - 0) = -20
    A33=+∣4−107∣=28−0=28A_{33} = +\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 28 - 0 = 28

    অতএব,
    adj⁡(P)=[2430−42−4−102−26−2028]t=[24−4−2630−10−20−42228]\operatorname{adj}(\mathrm{P}) = \begin{bmatrix} 24 & 30 & -42 \\ -4 & -10 & 2 \\ -26 & -20 & 28 \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 24 & -4 & -26 \\ 30 & -10 & -20 \\ -42 & 2 & 28 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    R=P−1=−160[24−4−2630−10−20−42228]=[−251151330−121613710−130−715]\mathrm{R} = \mathrm{P}^{-1} = -\frac{1}{60} \begin{bmatrix} 24 & -4 & -26 \\ 30 & -10 & -20 \\ -42 & 2 & 28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{1}{15} & \frac{13}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{7}{10} & -\frac{1}{30} & -\frac{7}{15} \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন