গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
$y^2 = 8x = 4 \cdot 2 \cdot x$
$\therefore a = 2$

ধরি, স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু $P(h, k)$।
$y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের $m$ ঢালবিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ:
$y = mx + \frac{a}{m} \implies y = mx + \frac{2}{m}$

স্পর্শকটি $P(h, k)$ বিন্দুগামী হলে,
$k = mh + \frac{2}{m}$
$\implies h m^2 - km + 2 = 0$

এটি $m$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। ধরি, স্পর্শকদ্বয়ের ঢাল $m_1$ ও $m_2$।
$\therefore m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ এবং $m_1 m_2 = \frac{2}{h}$

স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে,
$\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$
$\implies \tan^2 \alpha = \frac{(m_1 - m_2)^2}{(1 + m_1 m_2)^2} = \frac{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}{(1 + m_1 m_2)^2}$
$\implies \tan^2 \alpha = \frac{\frac{k^2}{h^2} - \frac{8}{h}}{\left(1 + \frac{2}{h}\right)^2} = \frac{k^2 - 8h}{(h + 2)^2}$
$\implies (h + 2)^2 \tan^2 \alpha = k^2 - 8h$

$(h, k)$ এর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
$(x + 2)^2 \tan^2 \alpha = y^2 - 8x$
অথবা, $(y^2 - 8x) \cot^2 \alpha = (x + 2)^2$