গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$x^3 + px + q = 0$
যেহেতু সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$
$\alpha\beta\gamma = -q$

এখন,
$\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2} = \frac{-\gamma}{\gamma^2} = -\frac{1}{\gamma}$
$\frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \frac{-\alpha}{\alpha^2} = -\frac{1}{\alpha}$
$\frac{\alpha+\gamma}{\beta^2} = \frac{-\beta}{\beta^2} = -\frac{1}{\beta}$

সুতরাং, নতুন সমীকরণের মূলগুলো হলো $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}$।
ধরি, $y = -\frac{1}{x} \implies x = -\frac{1}{y}$

প্রদত্ত সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই:
$\left(-\frac{1}{y}\right)^3 + p\left(-\frac{1}{y}\right) + q = 0$
$\implies -\frac{1}{y^3} - \frac{p}{y} + q = 0$
$\implies qy^3 - py^2 - 1 = 0$

অতএব, নির্ণেয় ত্রিঘাত সমীকরণটি হলো:
$qx^3 - px^2 - 1 = 0$