উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[12422343−5],f(x)=x2−x+3 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 2 & 2 & 3 \ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix}, f(x) = x^2 - x + 3

  1. ক)

    P=[33−3−3] P = \begin{bmatrix} 3 & 3 \ -3 & -3 \end{bmatrix} হলে দেখাও যে, P একটি শূন্যঘাতী ম্যাট্রিক্স।

    (2)
  2. খ)

    f(A) f(A) নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, A−1⋅A=I3 A^{-1} \cdot A = I_3

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P=[33−3−3]P = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}

    এখন,
    P2=P⋅P=[33−3−3][33−3−3]P^2 = P \cdot P = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}
    =[3(3)+3(−3)3(3)+3(−3)−3(3)+(−3)(−3)−3(3)+(−3)(−3)]= \begin{bmatrix} 3(3) + 3(-3) & 3(3) + 3(-3) \\ -3(3) + (-3)(-3) & -3(3) + (-3)(-3) \end{bmatrix}
    =[9−99−9−9+9−9+9]= \begin{bmatrix} 9 - 9 & 9 - 9 \\ -9 + 9 & -9 + 9 \end{bmatrix}
    =[0000]=O= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O

    যেহেতু P2=OP^2 = O, সুতরাং PP একটি শূন্যঘাতী (nilpotent) ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[12422343−5]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix} এবং f(x)=x2−x+3f(x) = x^2 - x + 3
    ∴f(A)=A2−A+3I\therefore f(A) = A^2 - A + 3I

    এখন,
    A2=A⋅A=[12422343−5][12422343−5]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix}
    =[1+4+162+4+124+6−202+4+124+4+98+6−154+6−208+6−1516+9+25]= \begin{bmatrix} 1+4+16 & 2+4+12 & 4+6-20 \\ 2+4+12 & 4+4+9 & 8+6-15 \\ 4+6-20 & 8+6-15 & 16+9+25 \end{bmatrix}
    =[2118−101817−1−10−150]= \begin{bmatrix} 21 & 18 & -10 \\ 18 & 17 & -1 \\ -10 & -1 & 50 \end{bmatrix}

    অতএব,
    f(A)=A2−A+3I3f(A) = A^2 - A + 3I_3
    =[2118−101817−1−10−150]−[12422343−5]+3[100010001]= \begin{bmatrix} 21 & 18 & -10 \\ 18 & 17 & -1 \\ -10 & -1 & 50 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    =[21−1+318−2+0−10−4+018−2+017−2+3−1−3+0−10−4+0−1−3+050−(−5)+3]= \begin{bmatrix} 21-1+3 & 18-2+0 & -10-4+0 \\ 18-2+0 & 17-2+3 & -1-3+0 \\ -10-4+0 & -1-3+0 & 50-(-5)+3 \end{bmatrix}
    =[2316−141618−4−14−458]= \begin{bmatrix} 23 & 16 & -14 \\ 16 & 18 & -4 \\ -14 & -4 & 58 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[12422343−5]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix}

    নির্ণায়ক ∣A∣|A| এর মান:
    ∣A∣=1(2(−5)−3(3))−2(2(−5)−3(4))+4(2(3)−2(4))|A| = 1(2(-5) - 3(3)) - 2(2(-5) - 3(4)) + 4(2(3) - 2(4))
    =1(−10−9)−2(−10−12)+4(6−8)= 1(-10 - 9) - 2(-10 - 12) + 4(6 - 8)
    =1(−19)−2(−22)+4(−2)= 1(-19) - 2(-22) + 4(-2)
    =−19+44−8=17≠0= -19 + 44 - 8 = 17 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA এর ভুক্তিগুলির সহগুণকসমূহ:
    A11=+(−10−9)=−19A_{11} = +(-10 - 9) = -19
    A12=−(−10−12)=22A_{12} = -(-10 - 12) = 22
    A13=+(6−8)=−2A_{13} = +(6 - 8) = -2
    A21=−(−10−12)=22A_{21} = -(-10 - 12) = 22
    A22=+(−5−16)=−21A_{22} = +(-5 - 16) = -21
    A23=−(3−8)=5A_{23} = -(3 - 8) = 5
    A31=+(6−8)=−2A_{31} = +(6 - 8) = -2
    A32=−(3−8)=5A_{32} = -(3 - 8) = 5
    A33=+(2−4)=−2A_{33} = +(2 - 4) = -2

    adj(A)=[−1922−222−215−25−2]T=[−1922−222−215−25−2]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -19 & 22 & -2 \\ 22 & -21 & 5 \\ -2 & 5 & -2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -19 & 22 & -2 \\ 22 & -21 & 5 \\ -2 & 5 & -2 \end{bmatrix}

    ∴A−1=1∣A∣adj(A)=117[−1922−222−215−25−2]\therefore A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{17} \begin{bmatrix} -19 & 22 & -2 \\ 22 & -21 & 5 \\ -2 & 5 & -2 \end{bmatrix}

    এখন, বামপক্ষ =A−1⋅A= A^{-1} \cdot A
    =117[−1922−222−215−25−2][12422343−5]= \frac{1}{17} \begin{bmatrix} -19 & 22 & -2 \\ 22 & -21 & 5 \\ -2 & 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix}
    =117[−19+44−8−38+44−6−76+66+1022−42+2044−42+1588−63−25−2+10−8−4+10−6−8+15+10]= \frac{1}{17} \begin{bmatrix} -19+44-8 & -38+44-6 & -76+66+10 \\ 22-42+20 & 44-42+15 & 88-63-25 \\ -2+10-8 & -4+10-6 & -8+15+10 \end{bmatrix}
    =117[170001700017]=[100010001]=I3= \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 17 & 0 & 0 \\ 0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3

    ∴A−1⋅A=I3\therefore A^{-1} \cdot A = I_3 (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন