উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, z = -2i
   \Rightarrow -2i = 1 - 2i - 1 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = (1 - i)^2

   অতএব, -2i এর বর্গমূল:
   \sqrt{-2i} = \pm (1 - i)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   p(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a)
   = (x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca)
   = 3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca)

   যেহেতু p(x) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ, তাই p(x) = 0 সমীকরণের পৃথায়ক বা নিশ্চয়ক (D) শূন্য হবে।
   অতএব, D = 0
   \Rightarrow [-2(a + b + c)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot (ab + bc + ca) = 0
   \Rightarrow 4(a + b + c)^2 - 12(ab + bc + ca) = 0
   উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   (a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = 0
   \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca = 0
   \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
   উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
   2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
   \Rightarrow (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0
   \Rightarrow (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0

   যেহেতু একাধিক বাস্তব রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য, তাই তারা পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে।
   \therefore (a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b
   (b - c)^2 = 0 \Rightarrow b = c
   (c - a)^2 = 0 \Rightarrow c = a

   \therefore a = b = c (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   (i) নং সমীকরণ: ax^2 + bx + c = 0
   (ii) নং সমীকরণ: cx^2 - 2bx + 4a = 0

   (i) ও (ii) উভয় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল হলো \beta।
   অতএব, \beta দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে:
   a\beta^2 + b\beta + c = 0 ... (1)
   c\beta^2 - 2b\beta + 4a = 0 ... (2)

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   \frac{\beta^2}{4ab - (-2bc)} = \frac{\beta}{c^2 - 4a^2} = \frac{1}{-2ab - bc}
   \Rightarrow \frac{\beta^2}{2b(2a + c)} = \frac{\beta}{c^2 - 4a^2} = \frac{1}{-b(2a + c)}

   প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
   \beta^2 = \frac{2b(2a + c)}{-b(2a + c)} = -2

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
   \beta = \frac{c^2 - 4a^2}{-b(2a + c)} = \frac{(c - 2a)(c + 2a)}{-b(2a + c)}

   যদি 2a + c \neq 0 হয়, তবে কাটাকাটি করে পাই,
   \beta = \frac{c - 2a}{-b} = \frac{2a - c}{b}

   এখন, \beta^2 = -2 সমীকরণে \beta-এর মান বসিয়ে পাই,
   \left(\frac{2a - c}{b}\right)^2 = -2
   \Rightarrow \frac{(2a - c)^2}{b^2} = -2
   \Rightarrow (2a - c)^2 = -2b^2
   \Rightarrow (2a - c)^2 + 2b^2 = 0

   আর যদি 2a + c = 0 হয়, তবে সাধারণ মূলের শর্ত সরাসরি সিদ্ধ হয়।

   অতএব, 2a + c = 0 অথবা (2a - c)^2 + 2b^2 = 0। (প্রমাণিত)