পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মানগুলো থেকে অনুমিত গড় বা যেকোনো নির্দিষ্ট ধ্রুবক মানের ব্যবধানের বিভিন্ন ঘাতের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে পরিঘাত পাওয়া যায়, তাকে কাঁচা বা অশোধিত পরিঘাত বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, বঙ্কিমতাঙ্ক ($\sqrt{\beta_1}$) এর মান 0 হতে পারে। বঙ্কিমতাঙ্ক নিবেশনের প্রতিসাম্যতা পরিমাপ করে। যদি কোনো নিবেশন সম্পূর্ণ সুষম বা প্রতিসম (Symmetrical) হয়, তবে তার তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান $\mu_3 = 0$ হয়। এর ফলে বঙ্কিমতাঙ্ক $\sqrt{\beta_1} = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}} = 0$ হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত 3 হতে পরিমাপকৃত অশোধিত পরিঘাতসমূহ:
   $\mu'_1 = -1$
   $\mu'_2 = 5$
   $\mu'_3 = -9$
   $\mu'_4 = 30$

   আমরা জানি, অশোধিত পরিঘাত থেকে তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত নির্ণয়ের সূত্র:
   $\mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_2\mu'_1 + 2(\mu'_1)^3$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\mu_3 = -9 - 3(5)(-1) + 2(-1)^3$
   $\mu_3 = -9 + 15 - 2 = 4$

   অতএব, তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান 4।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সুঁচালোতা যাচাইয়ের জন্য চতুর্থ পরিমিত সূচক বা সূঁচালোতাঙ্ক ($\beta_2$) নির্ণয় করতে হবে।
   আমরা জানি,
   $\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 = 5 - (-1)^2 = 5 - 1 = 4$

   চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_4$):
   $\mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_3\mu'_1 + 6\mu'_2(\mu'_1)^2 - 3(\mu'_1)^4$
   $\mu_4 = 30 - 4(-9)(-1) + 6(5)(-1)^2 - 3(-1)^4$
   $\mu_4 = 30 - 36 + 30 - 3 = 21$

   সূঁচালোতাঙ্ক ($\beta_2$) নির্ণয়:
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{21}{4^2} = \frac{21}{16} = 1.3125$

   যেহেতু $\beta_2 < 3$, সেহেতু নিবেশনটি অনতি সূঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic)।

   উদ্দীপকে আসিফের মন্তব্য ছিল "নিবেশনটি অনতি সূঁচালো", যা গাণিতিকভাবে প্রমাণিত ও সঠিক।