পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশন বা তথ্যসারির গাণিতিক গড় থেকে তথ্যমানসমূহের বিচ্যুতির বিভিন্ন ঘাতের গড়মানকে কেন্দ্রীয় পরিঘাত বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কার্ল পিয়ারসনের সুঁচালতা গুণাঙ্ক β₂ = 3 নির্দেশ করে যে আলোচিত নিবেশনটি একটি পরিমিত বা মধ্যম সুঁচালো (Mesokurtic) নিবেশন।
   কোনো বিন্যাসের শীর্ষদেশের সূঁচালতার মাত্রা সাধারণ পরিমিত নিবেশনের শীর্ষদেশের অনুরূপ হলে তাকে মধ্যম সুঁচালো বলা হয়। যদি β₂ > 3 হয় তবে বিন্যাসটি অতি-সুঁচালো (Leptokurtic) এবং β₂ < 3 হলে তা অনতি-সুঁচালো (Platykurtic) হয়। অতএব, β₂ = 3 মানে বিন্যাসটির সুঁচালতা পুরোপুরি স্বাভাবিক বা পরিমিত নিবেশনের সমান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যমানগুলো হলো: 3, 2, 5, 4, 1, 3।
   এখানে মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, n = 6।

   গাণিতিক গড়, x̄ = (∑x) / n
   = (3 + 2 + 5 + 4 + 1 + 3) / 6
   = 18 / 6
   = 3

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₂) নির্ণয়ের সূত্র:
   μ₂ = ∑(x - x̄)² / n

   মানগুলোর জন্য বিচ্যুতি ও বর্গের সমষ্টি:
   ∑(x - x̄)² = (3 - 3)² + (2 - 3)² + (5 - 3)² + (4 - 3)² + (1 - 3)² + (3 - 3)²
   = 0² + (-1)² + 2² + 1² + (-2)² + 0²
   = 0 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0 = 10

   অতএব, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত, μ₂ = 10 / 6 = 1.67 (প্রায়)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত তথ্যমানগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
   1, 2, 3, 3, 4, 5
   এখানে মোট মান, n = 6।

   ১. গড় (Mean, x̄):
   x̄ = (1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5) / 6 = 18 / 6 = 3

   ২. মধ্যমা (Median, Me):
   যেহেতু n = 6 (জোড় সংখ্যা),
   মধ্যমা = [(n/2)-তম পদ + (n/2 + 1)-তম পদ] / 2
   = [3-তম পদ + 4-র্থ পদ] / 2
   = (3 + 3) / 2 = 3

   ৩. প্রচুরক (Mode, Mo):
   প্রদত্ত তথ্যে 3 সংখ্যাটি সর্বাধিক (2 বার) বিদ্যমান। অতএব, প্রচুরক = 3।

   বঙ্কিমতা সম্পর্কে মন্তব্য:
   এখানে, গড় = মধ্যমা = প্রচুরক = 3।
   যেহেতু গড়, মধ্যমা এবং প্রচুরকের মান পরস্পর সমান, সেহেতু তথ্যবিন্যাসটি একটি সম্পূর্ণ প্রতিসম নিবেশন। অর্থাৎ, বিন্যাসটিতে কোনো বঙ্কিমতা নেই বা এর বঙ্কিমতা গুণাঙ্ক শূন্য (Sk = 0)।