উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

x=cos⁡αf(x)=2x \begin{array}{l}x=\cos \alpha \ f(x)=2 x\end{array}

  1. ক)

    t এর সাপেক্ষে 1+sin⁡tsin⁡t \frac{1+\sin t}{\sin t} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    y=sin⁡(aα) \mathrm{y}=\sin (\mathrm{a} \alpha) হলে প্রমাণ কর যে,(1−x2)d2ydx2−xdydx+a2y=0 \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+a^{2} y=0

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, f(x)+1f(x) \mathrm{f}(\mathrm{x})+\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})} এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, u=1+sin⁡tsin⁡t=1sin⁡t+1=csc⁡t+1u = \frac{1 + \sin t}{\sin t} = \frac{1}{\sin t} + 1 = \csc t + 1

    tt-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    dudt=ddt(csc⁡t+1)=−csc⁡tcot⁡t+0=−csc⁡tcot⁡t\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}(\csc t + 1) = -\csc t \cot t + 0 = -\csc t \cot t
    অথবা,
    dudt=−1sin⁡t⋅cos⁡tsin⁡t=−cos⁡tsin⁡2t\frac{du}{dt} = -\frac{1}{\sin t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin^2 t}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    x=cos⁡α⇒α=cos⁡−1xx = \cos \alpha \Rightarrow \alpha = \cos^{-1} x
    এবং y=sin⁡(aα)=sin⁡(acos⁡−1x)y = \sin(a\alpha) = \sin(a \cos^{-1} x)

    xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    dydx=cos⁡(acos⁡−1x)⋅ddx(acos⁡−1x)\frac{dy}{dx} = \cos(a \cos^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(a \cos^{-1} x)
    ⇒dydx=cos⁡(acos⁡−1x)⋅(−a1−x2)\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(a \cos^{-1} x) \cdot \left( -\frac{a}{\sqrt{1-x^2}} \right)
    ⇒1−x2dydx=−acos⁡(acos⁡−1x)\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = -a \cos(a \cos^{-1} x)

    উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
    (1−x2)(dydx)2=a2cos⁡2(acos⁡−1x)(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 \cos^2(a \cos^{-1} x)
    ⇒(1−x2)(dydx)2=a2[1−sin⁡2(acos⁡−1x)]\Rightarrow (1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 [1 - \sin^2(a \cos^{-1} x)]
    ⇒(1−x2)(dydx)2=a2(1−y2)\Rightarrow (1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 (1 - y^2)

    পুনরায় xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    (1−x2)⋅2dydxd2ydx2+(−2x)(dydx)2=a2(−2ydydx)(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2 y}{dx^2} + (-2x) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 \left( -2y \frac{dy}{dx} \right)

    উভয়পক্ষকে 2dydx2 \frac{dy}{dx} দ্বারা ভাগ করে পাই,
    (1−x2)d2ydx2−xdydx=−a2y(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -a^2 y
    ∴(1−x2)d2ydx2−xdydx+a2y=0\therefore (1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + a^2 y = 0 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=2xf(x) = 2x
    ধরি, g(x)=f(x)+1f(x)=2x+12xg(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)} = 2x + \frac{1}{2x}

    অন্তরীকরণ করে পাই,
    g′(x)=2−12x2g'(x) = 2 - \frac{1}{2x^2}
    g′′(x)=1x3g''(x) = \frac{1}{x^3}

    চরম মানের (লঘুমান বা গুরুমান) জন্য g′(x)=0g'(x) = 0:
    2−12x2=0⇒12x2=2⇒4x2=1⇒x2=14⇒x=±122 - \frac{1}{2x^2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2x^2} = 2 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}

    ১. যখন x=12x = \frac{1}{2}:
    g′′(12)=1(1/2)3=8>0g''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{(1/2)^3} = 8 > 0
    সুতরাং, x=12x = \frac{1}{2} বিন্দুতে লঘুমান বিদ্যমান।
    নির্ণেয় লঘুমান =g(12)=2(12)+12(1/2)=1+1=2= g\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2(1/2)} = 1 + 1 = 2

    ২. যখন x=−12x = -\frac{1}{2}:
    g′′(−12)=1(−1/2)3=−8<0g''\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{(-1/2)^3} = -8 < 0
    সুতরাং, x=−12x = -\frac{1}{2} বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান।
    নির্ণেয় গুরুমান =g(−12)=2(−12)+12(−1/2)=−1−1=−2= g\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2(-1/2)} = -1 - 1 = -2

    এখানে,
    গুরুমান =−2= -2 এবং লঘুমান =2= 2
    যেহেতু −2<2-2 < 2,
    অতএব, f(x)+1f(x)f(x) + \frac{1}{f(x)} এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন