উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $u_1$ ও $u_2$ বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং লব্ধি $u$, $u_1$ এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

   আমরা জানি, লব্ধির মান:
   $u^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1 u_2 \cos\alpha$ ... (১)

   প্রশ্নমতে, $u_1$ এর দিক বরাবর লব্ধি $u$ এর লম্বাংশ হলো $u_2$।
   অর্থাৎ, $u \cos\theta = u_2$

   আবার, লম্বাংশের উপপাদ্য অনুসারে, $u_1$ এর দিক বরাবর উপাংশসমূহের যোগফল:
   $u \cos\theta = u_1 \cos 0^\circ + u_2 \cos\alpha$
   $\Rightarrow u_2 = u_1 + u_2 \cos\alpha$
   $\Rightarrow u_2 \cos\alpha = u_2 - u_1$

   এখন, এই মানটি (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $u^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1(u_2 - u_1)$
   $\Rightarrow u^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1 u_2 - 2u_1^2$
   $\Rightarrow u^2 = u_2^2 - u_1^2 + 2u_1 u_2$
   $\therefore u = \sqrt{u_2^2 - u_1^2 + 2u_1 u_2}$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রক্ষেপকটির গতিপথের সমীকরণ:
   $y = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)$

   যেখানে $R$ হলো আনুভূমিক পাল্লা এবং $\alpha$ হলো প্রক্ষেপণ কোণ।

   প্রদত্ত উদ্দীপকের চিত্রমতে, গতিপথটি $(p, q)$ এবং $(q, p)$ বিন্দুগামী।
   অতএব,
   $q = p \tan\alpha \left(1 - \frac{p}{R}\right) = p \tan\alpha \left(\frac{R - p}{R}\right)$ ... (১)
   এবং
   $p = q \tan\alpha \left(1 - \frac{q}{R}\right) = q \tan\alpha \left(\frac{R - q}{R}\right)$ ... (২)

   (১) নং সমীকরণকে (২) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\frac{q}{p} = \frac{p(R - p)}{q(R - q)}$
   $\Rightarrow q^2(R - q) = p^2(R - p)$
   $\Rightarrow q^2 R - q^3 = p^2 R - p^3$
   $\Rightarrow p^3 - q^3 = p^2 R - q^2 R$
   $\Rightarrow (p - q)(p^2 + pq + q^2) = R(p^2 - q^2)$
   $\Rightarrow (p - q)(p^2 + pq + q^2) = R(p - q)(p + q)$

   যেহেতু $p \neq q$, তাই উভয়পক্ষকে $(p - q)$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $p^2 + pq + q^2 = R(p + q)$
   $\therefore R = \frac{p^2 + pq + q^2}{p + q}$

   অতএব, আনুভূমিক পাল্লা $R = \frac{p^2 + pq + q^2}{p + q}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি $t$ সময় পর আদি প্রক্ষেপণ বেগের দিকের সাথে সমকোণে বা লম্বভাবে অবস্থান করবে।

   আদি প্রক্ষেপণ বেগ $\vec{v_0}$ হলে, আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশ বিবেচনা করে পাই:
   $\vec{v_0} = (v\cos\alpha)\hat{i} + (v\sin\alpha)\hat{j}$

   $t$ সময় পরে বস্তুটির বেগ $\vec{v_t}$ হলে:
   $\vec{v_t} = (v\cos\alpha)\hat{i} + (v\sin\alpha - gt)\hat{j}$

   যেহেতু $t$ সময় পর বস্তুটি প্রক্ষেপণ দিকের সাথে লম্বভাবে চলে, তাই আদি বেগ এবং $t$ সময় পরের বেগের ডট গুণন শূন্য হবে:
   $\vec{v_0} \cdot \vec{v_t} = 0$
   $\Rightarrow (v\cos\alpha)(v\cos\alpha) + (v\sin\alpha)(v\sin\alpha - gt) = 0$
   $\Rightarrow v^2\cos^2\alpha + v^2\sin^2\alpha - vgt\sin\alpha = 0$
   $\Rightarrow v^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = vgt\sin\alpha$
   $\Rightarrow v^2 = vgt\sin\alpha$
   $\Rightarrow v = gt\sin\alpha$
   $\Rightarrow t = \frac{v}{g\sin\alpha}$
   $\therefore t = \frac{v}{g}\csc\alpha$

   অতএব, $\frac{v}{g}\csc\alpha$ সময় পরে বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে (দেখানো হলো)।