গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $y^2+2z-1-z^2=y^2-(z^2-2z+1)=y^2-(z-1)^2$

   $=(y+z-1)(y-z+1)$

2. খ)

   $x^6+1=18\sqrt3\,x^3$ কে $x^3$ দ্বারা ভাগ করে $x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\sqrt3$।

   ধরি $u=x+\dfrac1x$। তাহলে $x^3+\dfrac1{x^3}=u^3-3u$, তাই $u^3-3u-18\sqrt3=0$।

   এটি ভেঙে পাই $(u-2\sqrt3)(u^2+2\sqrt3u+9)=0$। দ্বিতীয় উৎপাদকের নিশ্চায়ক $12-36<0$, তাই বাস্তব মান নেই। অতএব $u=2\sqrt3$।

   $x+\dfrac1x=2\sqrt3$ থেকে $x^2-2\sqrt3x+1=0$, অর্থাৎ $x=\dfrac{2\sqrt3\pm\sqrt{12-4}}{2}=\sqrt3\pm\sqrt2$।

   সুতরাং $x=\sqrt3+\sqrt2$ (অপর মান $\sqrt3-\sqrt2$)। যাচাই: $x=\sqrt3+\sqrt2$ হলে $\dfrac1x=\sqrt3-\sqrt2$, $x+\dfrac1x=2\sqrt3$ এবং $x^3+\dfrac1{x^3}=(2\sqrt3)^3-3(2\sqrt3)=24\sqrt3-6\sqrt3=18\sqrt3$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $p^2=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$, তাই $p=2+\sqrt3$ এবং $\dfrac1p=\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3$।

   এখন $p-\dfrac1p=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)=2\sqrt3$।

   $\dfrac{p^6-1}{p^3}=p^3-\dfrac1{p^3}=\left(p-\dfrac1p\right)^3+3\left(p-\dfrac1p\right)$

   $=(2\sqrt3)^3+3\cdot2\sqrt3=24\sqrt3+6\sqrt3=30\sqrt3$।

   উত্তর: $30\sqrt3$।