উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ : 3x2−4x+1=03 \mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a\mathrm{a} ও b\mathrm{b}.
দৃশ্যকল্প-২ : x2−qx+r=0x^2-q x+r=0 সমীকরণের মূল দুইটি α\alpha ও β\beta.

  1. ক)

    9x2−(k+2)x+49 \mathrm{x}^2-(\mathrm{k}+2) \mathrm{x}+4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, k\mathrm{k} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে a+1ba+\frac{1}{b} ও b +1a+\frac{1}{a} মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকন্স-২ এর α\alpha ও β\beta ব্যবহার করে r(x2+1)−(q2−2r)x=0r\left(x^2+1\right)-\left(q^2-2 r\right) x=0 সমীকরণের মূলদ্বয়কে α\alpha ও β\beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি: 9x2−(k+2)x+49x^2 - (k+2)x + 4

    রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে যদি সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ 9x2−(k+2)x+4=09x^2 - (k+2)x + 4 = 0 এর নিশ্চয়ক (discriminant) শূন্য হয়।

    নিশ্চায়ক, D=B2−4ACD = B^2 - 4AC
    এখানে, A=9A = 9, B=−(k+2)B = -(k+2), C=4C = 4

    সুতরাং,
    [−(k+2)]2−4⋅9⋅4=0[-(k+2)]^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 0
    ⇒(k+2)2−144=0\Rightarrow (k+2)^2 - 144 = 0
    ⇒(k+2)2=144\Rightarrow (k+2)^2 = 144
    ⇒k+2=±12\Rightarrow k+2 = \pm 12

    ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
    k=12−2=10k = 12 - 2 = 10

    ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
    k=−12−2=−14k = -12 - 2 = -14

    অতএব, kk এর মান 1010 অথবা −14-14।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, 3x2−4x+1=03x^2 - 4x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় aa ও bb।

    সুতরাং,
    মূলদ্বয়ের যোগফল, a+b=−−43=43a + b = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}
    মূলদ্বয়ের গুণফল, ab=13ab = \frac{1}{3}

    নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় হলো (a+1b)\left(a + \frac{1}{b}\right) এবং (b+1a)\left(b + \frac{1}{a}\right)।

    মূলদ্বয়ের যোগফল:
    S=(a+1b)+(b+1a)=(a+b)+(1a+1b)S = \left(a + \frac{1}{b}\right) + \left(b + \frac{1}{a}\right) = (a + b) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)
    =(a+b)+a+bab=43+4313=43+4=163= (a + b) + \frac{a+b}{ab} = \frac{4}{3} + \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}

    মূলদ্বয়ের গুণফল:
    P=(a+1b)(b+1a)=ab+1+1+1abP = \left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{a}\right) = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab}
    =ab+2+1ab=13+2+3=13+5=163= ab + 2 + \frac{1}{ab} = \frac{1}{3} + 2 + 3 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{16}{3}

    অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0
    ⇒x2−163x+163=0\Rightarrow x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{16}{3} = 0
    ⇒3x2−16x+16=0\Rightarrow 3x^2 - 16x + 16 = 0

    উত্তর: 3x2−16x+16=03x^2 - 16x + 16 = 0

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে, x2−qx+r=0x^2 - qx + r = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta।
    অতএব,
    α+β=q\alpha + \beta = q
    αβ=r\alpha\beta = r

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    r(x2+1)−(q2−2r)x=0r(x^2 + 1) - (q^2 - 2r)x = 0

    এখানে qq ও rr এর মান বসিয়ে পাই,
    αβ(x2+1)−((α+β)2−2αβ)x=0\alpha\beta(x^2 + 1) - \left((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\right)x = 0
    ⇒αβ(x2+1)−(α2+β2)x=0\Rightarrow \alpha\beta(x^2 + 1) - (\alpha^2 + \beta^2)x = 0
    ⇒αβx2−α2x−β2x+αβ=0\Rightarrow \alpha\beta x^2 - \alpha^2 x - \beta^2 x + \alpha\beta = 0
    ⇒αx(βx−α)−β(βx−α)=0\Rightarrow \alpha x(\beta x - \alpha) - \beta(\beta x - \alpha) = 0
    ⇒(βx−α)(αx−β)=0\Rightarrow (\beta x - \alpha)(\alpha x - \beta) = 0

    হয় βx−α=0⇒x=αβ\beta x - \alpha = 0 \Rightarrow x = \frac{\alpha}{\beta}
    অথবা αx−β=0⇒x=βα\alpha x - \beta = 0 \Rightarrow x = \frac{\beta}{\alpha}

    অতএব, মূলদ্বয় হলো αβ\frac{\alpha}{\beta} ও βα\frac{\beta}{\alpha}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন