উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল দুটি P ও Q এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ α।
   লব্ধি R, P বলের সাথে সমকোণ তৈরি করে এবং R = Q/3।

   আমরা জানি,
   tan 90° = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   বা, 1 / 0 = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   বা, P + Q cos α = 0
   বা, cos α = -P/Q ... (i)

   আবার, লব্ধি R এর মান,
   R² = P² + 2PQ cos α + Q²
   বা, (Q/3)² = P² + 2PQ(-P/Q) + Q² [ (i) হতে ]
   বা, Q²/9 = P² - 2P² + Q²
   বা, Q²/9 = Q² - P²
   বা, P² = Q² - Q²/9
   বা, P² = 8Q²/9
   বা, P/Q = √(8/9) = (2√2)/3

   অতএব, বলদ্বয়ের অনুপাত P : Q = 2√2 : 3।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক মতে, U, V, W বল তিনটি কোনো বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে।
   ধরি, U ও W এর অন্তর্গত কোণ α।
   প্রশ্নমতে, U ও W এর অন্তর্গত কোণ U ও V এর অন্তর্গত কোণের অর্ধেক।
   অতএব, U ও V এর অন্তর্গত কোণ = 2α।

   তাহলে, V ও W এর অন্তর্গত কোণ = 360° - (α + 2α) = 360° - 3α।

   লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   U / sin(360° - 3α) = V / sin α = W / sin 2α
   বা, U / (-sin 3α) = V / sin α = W / sin 2α

   প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত হতে পাই:
   U / (-sin 3α) = V / sin α
   বা, U / V = -sin 3α / sin α
   বা, U / V = -(3 sin α - 4 sin³ α) / sin α
   বা, U / V = -(3 - 4 sin² α) = 4 sin² α - 3 ... (i)

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে পাই:
   W / V = sin 2α / sin α = (2 sin α cos α) / sin α = 2 cos α
   বা, cos α = W / (2V)

   আমরা জানি, sin² α = 1 - cos² α = 1 - W² / (4V²)

   (i) নং সমীকরণে sin² α এর মান বসিয়ে পাই:
   U / V = 4[1 - W² / (4V²)] - 3
   বা, U / V = 4 - W² / V² - 3
   বা, U / V = 1 - W² / V²
   উভয়পক্ষকে V² দ্বারা গুণ করে পাই:
   UV = V² - W²

   অতএব, V² - W² = UV। (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, O বিন্দুটি ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র এবং CO রেখা বরাবর R বলটি ক্রিয়া করছে। ধরি CO রেখা AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

   R বলকে A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে P ও Q দুটি সমান্তরাল অংশে বিভক্ত করা হলে, সমান্তরাল বলের বিভাজন নীতি অনুযায়ী:
   P × AD = Q × BD
   বা, P / Q = BD / AD ... (i)

   এখন, ΔACD ও ΔBCD এর ক্ষেত্রে কোণ সম্পর্ক ব্যবহার করে পাই:
   ΔACD এর ক্ষেত্রফল / ΔBCD এর ক্ষেত্রফল = AD / BD
   আবার ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্রানুসারে,
   ΔACD / ΔBCD = (½ × CA × CD × sin ∠ACD) / (½ × CB × CD × sin ∠BCD) = (CA sin ∠ACD) / (CB sin ∠BCD)

   অতএব,
   AD / BD = (b sin ∠ACO) / (a sin ∠BCO) ... (ii)

   আমরা জানি, পরিকেন্দ্র O এর ক্ষেত্রে ∠BOC = 2A।
   ΔBOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (OB = OC = পরিব্যাসার্ধ R'), সুতরাং ∠BCO = (180° - 2A)/2 = 90° - A।
   অনুরূপভাবে, ∠ACO = 90° - B।

   (ii) নং এ মান বসিয়ে পাই:
   AD / BD = [b sin(90° - B)] / [a sin(90° - A)] = (b cos B) / (a cos A)

   সাইন সূত্রানুসারে, a = 2R' sin A এবং b = 2R' sin B:
   AD / BD = (2R' sin B cos B) / (2R' sin A cos A) = sin 2B / sin 2A

   (i) নং হতে পাই:
   P / Q = BD / AD = sin 2A / sin 2B

   অতএব, A ও B বিন্দুতে R বলের সমান্তরাল অংশকদ্বয়ের অনুপাত sin 2A : sin 2B। (দেখানো হলো)