উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২১
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প: A≡3x+y−15,B≡4x+3y−12,C≡3x−4y+16,D≡4x−3y+12A \equiv 3x + y - 15, B \equiv 4x + 3y - 12, C \equiv 3x - 4y + 16, D \equiv 4x - 3y + 12
- ক)(2)
3x−4y+2=03x - 4y + 2 = 0 এবং 6x−8y−7=06x - 8y - 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
- খ)(4)
দুইটি সরলরেখা (7,−1)(7, -1) বিন্দুগামী এবং A=0A = 0 রেখার সাথে 45∘45^\circ কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
- গ)(4)
যদি B=0,C=0B = 0, C = 0 এবং D=0D = 0 ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমীকরণ হয় তবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
প্রদত্ত সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
3x - 4y + 2 = 0 ... (i)
6x - 8y - 7 = 0
বা, 3x - 4y - 7/2 = 0 ... (ii)আমরা জানি, ax + by + c₁ = 0 এবং ax + by + c₂ = 0 সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব:
d = |c₁ - c₂| / √(a² + b²)অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব = |2 - (-7/2)| / √(3² + (-4)²)
= |2 + 7/2| / √(9 + 16)
= (11/2) / 5
= 11/10 একক (বা 1.1 একক)। - খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
দেওয়া আছে, A ≡ 3x + y - 15
সুতরাং, A = 0 রেখার সমীকরণ:
3x + y - 15 = 0
বা, y = -3x + 15
অতএব, রেখাটির ঢাল, m₁ = -3ধরি, (7, -1) বিন্দুগামী নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল m।
শর্তমতে, রেখাটি A = 0 রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে।
আমরা জানি,
tan(45°) = ± (m - m₁) / (1 + m · m₁)
⇒ 1 = ± (m - (-3)) / (1 + m(-3))
⇒ 1 = ± (m + 3) / (1 - 3m)(+) চিহ্ন নিয়ে:
1 - 3m = m + 3
⇒ 4m = -2
⇒ m = -1/2(-) চিহ্ন নিয়ে:
1 - 3m = -(m + 3)
⇒ 1 - 3m = -m - 3
⇒ -2m = -4
⇒ m = 2(7, -1) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
y - (-1) = m(x - 7)
⇒ y + 1 = m(x - 7)m = -1/2 হলে:
y + 1 = -1/2 (x - 7)
⇒ 2y + 2 = -x + 7
⇒ x + 2y - 5 = 0m = 2 হলে:
y + 1 = 2(x - 7)
⇒ y + 1 = 2x - 14
⇒ 2x - y - 15 = 0অতএব, নির্ণেয় রেখা দুইটির সমীকরণ: x + 2y - 5 = 0 এবং 2x - y - 15 = 0।
- গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
দেওয়া আছে, তিনটি রেখার সমীকরণ:
B ≡ 4x + 3y - 12 = 0 ... (1)
C ≡ 3x - 4y + 16 = 0 ... (2)
D ≡ 4x - 3y + 12 = 0 ... (3)(1) ও (2) সমাধান করে পাই:
(1) × 4 + (2) × 3 ⇒ (16x + 12y - 48) + (9x - 12y + 48) = 0
⇒ 25x = 0 ⇒ x = 0
x = 0 সমীকরণ (1)-এ বসিয়ে পাই,
3y - 12 = 0 ⇒ y = 4
সুতরাং, (1) ও (2) রেখার ছেদবিন্দু (0, 4)।এখন, বিন্দুটি (3) নং রেখায় বসিয়ে পাই:
4(0) - 3(4) + 12 = -12 + 12 = 0
অর্থাৎ, (0, 4) বিন্দুটি (3) নং রেখাটিকেও সিদ্ধ করে।সুতরাং রেখা তিনটি পরস্পর সমবিন্দু (concurrent) এবং এদের সাধারণ ছেদবিন্দু (0, 4)। রেখা তিনটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করে না, ফলে এদের কোনো অন্তঃকেন্দ্র বিদ্যমান নেই।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও