গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সমবাহু ত্রিভুজ $ABC$ এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $\angle ACB = 60^\circ$।
   চাপ $AB$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 2\times\angle ACB = 2\times 60^\circ = \mathbf{120^\circ}$।

2. খ)

   ত্রিভুজের বাহুর মান দেওয়া নেই, তাই ধরি $ABC$ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু $5$ সেমি।
   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 5$ সেমি আঁকি। $B$ ও $C$ কে কেন্দ্র করে $5$ সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি; এরা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB$, $AC$ যোগ করি।
   ২. $AB$ ও $BC$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।
   এটিই $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্ত।
   প্রমাণ: $O$ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $OA = OB = OC$।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে $PM$ ও $PN$ দুটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে $PM = PN$।
   অঙ্কন: $O, M$; $O, N$ এবং $O, P$ যোগ করি।
   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ$।
   সমকোণী $\triangle OMP$ ও $\triangle ONP$ এ অতিভুজ $OP$ সাধারণ এবং $OM = ON$ (ব্যাসার্ধ)।
   তাই $\triangle OMP \cong \triangle ONP$ (অতিভুজ-বাহু)।
   অতএব, $PM = PN$। (প্রমাণিত)