উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১ : একটি বিন্দুতে P=Q P = Q মানের দুইটি বল 2θ2\theta কোণে ক্রিয়ারত হলে লব্ধি 2R 2R এবং 2φ2\varphi কোণে ক্রিয়ারত হলে লব্ধি R R.
দৃশ্যকল্প-২ : P ও Q(P>Q)Q(P>Q) মানের দুইটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
- ক)(1)
4 N4 \mathrm{~N} ও 3 N3 \mathrm{~N} মানের দুইটি বল পরস্পর 120∘120^{\circ} কোণে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি নির্ণয় কর।
- খ)(2)
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=cos−1(2cosφ)\theta=\cos ^{-1}(2 \cos \varphi)
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ এর প্রত্যেক বলের সাথে a পরিমাণ বল বৃদ্ধি করলে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি aP−QAB\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \mathrm{AB} দূরত্বে সরে যাবে।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, বলদ্বয় P = 4 N এবং Q = 3 N এবং মধ্যবর্তী কোণ α = 120°। লব্ধির মান R = √(P² + Q² + 2PQ cos α) = √(4² + 3² + 2 · 4 · 3 · cos 120°) = √(16 + 9 + 24 · (-1/2)) = √13 N ≈ 3.61 N। লব্ধি 4 N বলের সাথে θ₁ কোণ তৈরি করলে, tan θ₁ = (3 sin 120°) / (4 + 3 cos 120°) = (3 · √3/2) / (4 - 3/2) = (3√3 / 2) / (5 / 2) = 3√3 / 5 ⇒ θ₁ = tan⁻¹(3√3 / 5) ≈ 46.1°। অতএব, লব্ধির মান √13 N এবং দিক 4 N বলের সাথে tan⁻¹(3√3 / 5) কোণে।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-১ হতে, ধরি সমান বলদ্বয়ের মান P। প্রথম ক্ষেত্রে, মধ্যবর্তী কোণ 2θ এবং লব্ধি 2R। লব্ধির সূত্রানুসারে, (2R)² = P² + P² + 2P² cos 2θ = 2P²(1 + cos 2θ) = 4P² cos²θ ⇒ 2R = 2P cos θ ⇒ R = P cos θ ... (i)। আবার দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, মধ্যবর্তী কোণ 2φ এবং লব্ধি R। অতএব, R² = P² + P² + 2P² cos 2φ = 2P²(1 + cos 2φ) = 4P² cos²φ ⇒ R = 2P cos φ ... (ii)। সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই, P cos θ = 2P cos φ ⇒ cos θ = 2 cos φ (যেহেতু P ≠ 0) ⇒ θ = cos⁻¹(2 cos φ)। (প্রমাণিত)
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-২ হতে, A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে P ও Q (P > Q) বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। ধরি, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু AB রেখার বর্ধিতাংশের উপর C। সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী, P · CA = Q · CB ⇒ P · CA = Q(CA + AB) ⇒ (P - Q) CA = Q · AB ⇒ CA = [Q / (P - Q)] AB ... (i)। এখন, প্রত্যেক বলের সাথে a পরিমাণ বল বৃদ্ধি করা হলে নতুন বলদ্বয় হয় (P + a) ও (Q + a)। ধরি, নতুন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C'। তাহলে, (P + a) · C'A = (Q + a) · C'B = (Q + a)(C'A + AB) ⇒ [(P + a) - (Q + a)] C'A = (Q + a) · AB ⇒ (P - Q) C'A = (Q + a) · AB ⇒ C'A = [(Q + a) / (P - Q)] AB ... (ii)। অতএব, লব্ধির সরণ CC' = C'A - CA = [(Q + a) / (P - Q)] AB - [Q / (P - Q)] AB = [a / (P - Q)] AB। সুতরাং, বলদ্বয়ের লব্ধি [a / (P - Q)] AB দূরত্বে সরে যাবে। (দেখানো হলো)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও