উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = x^x$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
   $\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

   $x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y (1 + \ln x) = x^x (1 + \ln x)$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(t) = \tan t$
   প্রদত্ত রাশি, $g(x) = 4 + 2f(x)\cos x - 3\{f(x)\}^2 \cos^2 x$
   $= 4 + 2\tan x \cos x - 3\tan^2 x \cos^2 x$
   $= 4 + 2\sin x - 3\sin^2 x$

   চরম মানের জন্য, $g'(x) = 0$
   $g'(x) = 2\cos x - 6\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 3\sin x)$
   $g'(x) = 0 \Rightarrow 2\cos x(1 - 3\sin x) = 0$
   যেহেতু $0 < x < \frac{\pi}{2}$, সুতরাং $\cos x \neq 0$।
   অতএব, $1 - 3\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3}$

   দ্বিতীয় অন্তরজ,
   $g''(x) = -2\sin x - 6\cos 2x = -2\sin x - 6(1 - 2\sin^2 x)$
   $\sin x = \frac{1}{3}$ হলে,
   $g''(x) = -2\left(\frac{1}{3}\right) - 6\left(1 - 2\cdot\frac{1}{9}\right) = -\frac{2}{3} - 6\left(\frac{7}{9}\right) = -\frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{16}{3} < 0$
   সুতরাং, $\sin x = \frac{1}{3}$ বিন্দুতে রাশিটির সর্বোচ্চ বা গুরুমান বিদ্যমান।

   নির্ণেয় চরম মান (গুরুমান) $= 4 + 2\left(\frac{1}{3}\right) - 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 4 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $x = f(t) = \tan t \Rightarrow t = \tan^{-1} x$
   এবং $y = f(pt) = \tan(pt) \Rightarrow pt = \tan^{-1} y$
   $\Rightarrow p\tan^{-1} x = \tan^{-1} y$

   $x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{p}{1+x^2} = \frac{1}{1+y^2} \cdot y_1$
   $\Rightarrow (1+y^2)p = (1+x^2)y_1$
   $\Rightarrow (1+x^2)y_1 - p(1+y^2) = 0$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}\left[(1+x^2)y_1\right] - p \frac{d}{dx}(1+y^2) = 0$
   $\Rightarrow (1+x^2)y_2 + 2x y_1 - p(2y y_1) = 0$
   $\Rightarrow (1+x^2)y_2 + 2(x - py)y_1 = 0$ (দেখানো হলো)