পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়ার প্রধান শর্ত হলো:
   ১. ভেক্টর তিনটিকে একই সমতলে অবস্থান করতে হবে (একতলীয় হতে হবে)।
   ২. এদের যেকোনো দুটির লব্ধি তৃতীয় ভেক্টরের সমান ও বিপরীতমুখী হতে হবে।
   ভেক্টর তিনটিকে যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে প্রকাশ করা যায়, তবে ত্রিভুজ সূত্রানুসারে তাদের লব্ধি শূন্য হয় (অর্থাৎ $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:
   $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + x\hat{k}$
   $\vec{u} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

   যেহেতু ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব, সেহেতু এদের ডট গুণন শূন্য হবে:
   $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$
   $\Rightarrow (2\hat{i} + 3\hat{j} + x\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
   $\Rightarrow (2 \times 3) + (3 \times 2) + (x \times 2) = 0$
   $\Rightarrow 6 + 6 + 2x = 0$
   $\Rightarrow 12 + 2x = 0$
   $\Rightarrow 2x = -12$
   $\Rightarrow x = -6$

   অতএব, 'x' এর মান হলো $-6$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'গ' হতে পাই, $x = -6$
   নৌকার বেগ, $v = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\text{ m/s}$
   স্রোতের বেগ, $u = |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}\text{ m/s} \approx 4.123\text{ m/s}$

   সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে সময় লাগে $t = 4\text{ মিনিট} = 4 \times 60\text{ s} = 240\text{ s}$
   সর্বনিম্ন পথে (সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে) কার্যকর বেগ হয়:
   $v_{\text{min}} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{7^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt{49 - 17} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ m/s} \approx 5.657\text{ m/s}$

   সুতরাং, নদীর প্রস্থ, $d = v_{\text{min}} \times t = \sqrt{32} \times 240 \approx 1357.65\text{ m}$

   ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে নৌকাটিকে স্রোতের সাথে ঠিক $90^\circ$ কোণে চালাতে হয়।
   এক্ষেত্রে নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকর বেগ হয় নৌকার নিজস্ব বেগ $v = 7\text{ m/s}$।
   ন্যূনতম সময়, $t_{\text{min}} = \frac{d}{v} = \frac{1357.65}{7} \approx 193.95\text{ s}$

   এই সময়ে স্রোতের কারণে নৌকাটির অনুভূমিক বা নদীর দৈর্ঘ্য বরাবর সরণ হয়:
   x-অক্ষ বরাবর দূরত্ব, $x = u \times t_{\text{min}} = 4.123 \times 193.95 \approx 799.66\text{ m}$

   সুতরাং, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে নৌকাটির প্রকৃত অতিক্রান্ত দূরত্ব:
   $s = \sqrt{d^2 + x^2} = \sqrt{(1357.65)^2 + (799.66)^2} = \sqrt{1843214 + 639456} = \sqrt{2482670} \approx 1575.65\text{ m}$

   যেহেতু $s > d$, তাই ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব ($1575.65\text{ m} > 1357.65\text{ m}$) অতিক্রম করতে হবে।