উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $f(x) = 3x^2 - 4x + 1 = 0$
   এখানে, $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$
   সমীকরণটির নিশ্চায়ক, $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
   যেহেতু নিশ্চায়ক $D > 0$ এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $f(x) = 3x^2 - 4x + 1 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$।
   $\therefore \alpha + \beta = \frac{4}{3}$ এবং $\alpha\beta = \frac{1}{3}$

   এখন,
   $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{9} - \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$
   $\implies |\alpha - \beta| = \frac{2}{3}$

   এবং
   $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{9} - \frac{2}{3} = \frac{10}{9}$

   নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল $= \frac{2}{3} + \frac{10}{9} = \frac{16}{9}$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= \frac{2}{3} \cdot \frac{10}{9} = \frac{20}{27}$

   $\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ:
   $x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{20}{27} = 0$
   $\implies 27x^2 - 48x + 20 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 8x + 10 = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির একটি মূল $5$, তাই $(x - 5)$ হলো $P(x)$-এর একটি উৎপাদক।

   $x^3 - 7x^2 + 8x + 10 = 0$
   $\implies x^2(x - 5) - 2x(x - 5) - 2(x - 5) = 0$
   $\implies (x - 5)(x^2 - 2x - 2) = 0$

   হয় $x - 5 = 0 \implies x = 5$
   অথবা $x^2 - 2x - 2 = 0$
   $\implies x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$
   $\implies x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

   $\therefore$ অপর মূলগুলো হলো $1 + \sqrt{3}$ এবং $1 - \sqrt{3}$।