উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১দৃশ্যকল্প-২ f(x)=cot⁡xf(x)=\cot \mathrm{x}

  1. ক)

    cos⁡2 A=1−cos⁡4 A\cos ^2 \mathrm{~A}=1-\cos ^4 \mathrm{~A} হলে, দেখাও যে, cot⁡4 A−cot⁡2 A=1\cot ^4 \mathrm{~A}-\cot ^2 \mathrm{~A}=1

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদর্শিত বৃত্তের পরিধি 31.416 সে.মি. হলে বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে f(π2−x)=yf\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=y এর লেখচিত্র আঁক।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    cos⁡2A=1−cos⁡4A\cos^2 A = 1 - \cos^4 A
      ⟹  cos⁡4A=1−cos⁡2A\implies \cos^4 A = 1 - \cos^2 A
      ⟹  cos⁡4A=sin⁡2A\implies \cos^4 A = \sin^2 A

    উভয়পক্ষকে sin⁡4A\sin^4 A দ্বারা ভাগ করে পাই,
    cos⁡4Asin⁡4A=sin⁡2Asin⁡4A\frac{\cos^4 A}{\sin^4 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^4 A}
      ⟹  cot⁡4A=1sin⁡2A\implies \cot^4 A = \frac{1}{\sin^2 A}
      ⟹  cot⁡4A=csc⁡2A\implies \cot^4 A = \csc^2 A
      ⟹  cot⁡4A=1+cot⁡2A\implies \cot^4 A = 1 + \cot^2 A
      ⟹  cot⁡4A−cot⁡2A=1\implies \cot^4 A - \cot^2 A = 1

    (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ rr সে.মি.।

    প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিধি 2πr=31.4162\pi r = 31.416 সে.মি.
      ⟹  r=31.4162×3.1416=31.4166.2832=5 সে.মি. (প্রায়)\implies r = \frac{31.416}{2 \times 3.1416} = \frac{31.416}{6.2832} = 5\text{ সে.মি. (প্রায়)}

    চিত্রানুযায়ী, অনাবৃত বা সাদা অংশের কেন্দ্রস্থ কোণ θ=58∘\theta = 58^\circ।
    অতএব, ছায়াঘেরা অংশের কেন্দ্রস্থ কোণ,
    θ1=360∘−58∘=302∘\theta_1 = 360^\circ - 58^\circ = 302^\circ

    কোণটিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করে পাই,
    θ1=302×π180=302×3.1416180≈5.271 রেডিয়ান\theta_1 = 302 \times \frac{\pi}{180} = \frac{302 \times 3.1416}{180} \approx 5.271\text{ রেডিয়ান}

    অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল,
    A=12r2θ1=12×52×5.271=25×5.2712≈65.89 বর্গ সে.মি.A = \frac{1}{2} r^2 \theta_1 = \frac{1}{2} \times 5^2 \times 5.271 = \frac{25 \times 5.271}{2} \approx 65.89\text{ বর্গ সে.মি.}

    [বিকল্পভাবে: সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2=3.1416×25=78.54= \pi r^2 = 3.1416 \times 25 = 78.54 বর্গ সে.মি.। অনাবৃত অংশের ক্ষেত্রফল =58360×78.54≈12.65= \frac{58}{360} \times 78.54 \approx 12.65 বর্গ সে.মি.। সুতরাং ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল =78.54−12.65=65.89= 78.54 - 12.65 = 65.89 বর্গ সে.মি. (প্রায়)]।

    উত্তর: 65.8965.89 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
    f(x)=cot⁡xf(x) = \cot x
    ∴y=f(π2−x)=cot⁡(π2−x)=tan⁡x\therefore y = f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x

    লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য ব্যবধি −π2<x<π2-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} বা −90∘<x<90∘-90^\circ < x < 90^\circ বিবেচনা করি।

    xx-এর কয়েকটি নির্দিষ্ট মানের জন্য y=tan⁡xy = \tan x-এর সংশ্লিষ্ট মান নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরি করি:

    xx (ডিগ্রি)−60∘-60^\circ−45∘-45^\circ−30∘-30^\circ0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ
    xx (রেডিয়ান)−π3-\frac{\pi}{3}−π4-\frac{\pi}{4}−π6-\frac{\pi}{6}00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}
    y=tan⁡xy = \tan x−1.73-1.73−1.00-1.00−0.58-0.58000.580.581.001.001.731.73

    লক্ষ করি, x=±π2x = \pm \frac{\pi}{2} বা ±90∘\pm 90^\circ-এ y=tan⁡xy = \tan x অসংজ্ঞায়িত; সুতরাং x=±π2x = \pm \frac{\pi}{2} রেখা দুটি লেখচিত্রের অসীমতট (asymptote)।

    লেখচিত্র অঙ্কনের বিবরণ:
    ১. ছক কাগজের XX-অক্ষ বরাবর সুবিধাজনক স্কেল (যেমন: ক্ষুদ্রতম বর্গের ৫ ঘর = π6\frac{\pi}{6} বা 30∘30^\circ) এবং YY-অক্ষ বরাবর (যেমন: ক্ষুদ্রতম বর্গের ৫ ঘর = ১ একক) স্থাপন করি।
    ২. সারণির বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি এবং বিন্দুগুলোকে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করি।
    ৩. ফলে −π2<x<π2-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} ব্যবধিতে y=tan⁡xy = \tan x-এর অবিচ্ছিন্ন লেখচিত্রটি পাওয়া যায়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন