পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৫
পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন
দুটি ভেক্টর যথাক্রমে A⃗=3i^+4j^−k^ \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k} ও B⃗=−i^−j^+6k^ \vec{B} = -\hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k} এবং একটি ভেক্টরক্ষেত্র C⃗=2x2yi^+y2zj^+x2y2z2k^ \vec{C} = 2x^2y\hat{i} + y^2z\hat{j} + x^2y^2z^2\hat{k} .
- ক)(1)
সমরেখ ভেক্টর কী?
- খ)(2)
দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে কি-না? ব্যাখ্যা কর।
- গ)(3)
A⃗ \vec{A} ও B⃗ \vec{B} এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় কর।
- ঘ)(4)
(2,−1,2) (2, -1, 2) বিন্দুতে C⃗ \vec{C} ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সাথে লম্বভাবে অবস্থান করে (কোণ ৯০° হয়)। কারণ |\vec{P}+\vec{Q}|^2 = |\vec{P}-\vec{Q}|^2 হলে 4\vec{P}\cdot\vec{Q} = 0 হয়, অর্থাৎ \vec{P} \perp \vec{Q}। আর ভেক্টর হিসেবে সমান (\vec{P}+\vec{Q} = \vec{P}-\vec{Q}) হতে হলে একটি ভেক্টর শূন্য হতে হবে।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
\vec{A} ও \vec{B} এর তলের লম্বদিকের ভেক্টর হলো:
\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 4 & -1 \ -1 & -1 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(24-1) - \hat{j}(18-1) + \hat{k}(-3+4) = 23\hat{i} - 17\hat{j} + \hat{k}। - ঘ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
\vec{C} এর ডাইভারজেন্স:
\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2y^2z^2) = 4xy + 2yz + 2x^2y^2z
(2, -1, 2) বিন্দুতে:
\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1) + 2(-1)(2) + 2(2)^2(-1)^2(2) = -8 - 4 + 16 = +4
যেহেতু ডাইভারজেন্স ধনাত্মক (+4 > 0), তাই ভেক্টরক্ষেত্রটি উক্ত বিন্দুতে তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও