গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$y = 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$

উভয়পক্ষে $1$ যোগ করে পাই,
$1 + y = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$
আমরা জানি, $(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$ [যেখানে $|x| < 1$]

অতএব,
$(1 - x)^{-2} = 1 + y$
$\implies (1 - x)^2 = (1 + y)^{-1}$
$\implies 1 - x = (1 + y)^{-\frac{1}{2}}$
$\implies x = 1 - (1 + y)^{-\frac{1}{2}}$

এখন, দ্বিপদী বিস্তৃতি প্রয়োগ করে পাই:
$(1 + y)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)y + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}y^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}y^3 + \dots$
$= 1 - \frac{1}{2}y + \frac{3}{8}y^2 - \frac{5}{16}y^3 + \dots$

সুতরাং,
$x = 1 - \left(1 - \frac{1}{2}y + \frac{3}{8}y^2 - \frac{5}{16}y^3 + \dots\right)$
$\therefore x = \frac{1}{2}y - \frac{3}{8}y^2 + \frac{5}{16}y^3 - \dots$ (দেখানো হলো)