উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $4x^2 + 5y^2 = 1$
   $\implies \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{5}} = 1$

   এখানে, $a^2 = \frac{1}{4}$ এবং $b^2 = \frac{1}{5}$।
   যেহেতু $a^2 > b^2$, সুতরাং উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

   অতএব, উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{1}{\sqrt{5}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পরাবৃত্তটির সমীকরণ: $y^2 = 16x$

   এটিকে $y^2 = 4ax$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $4a = 16 \implies a = 4$।

   ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক $P(x_1, y_1)$।
   আমরা জানি, $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x_1, y_1)$ এর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব,
   $SP = x_1 + a$
   দেওয়া আছে, $SP = 6$
   $\therefore x_1 + 4 = 6 \implies x_1 = 2$

   যেহেতু $P$ বিন্দুটি $y^2 = 16x$ পরাবৃত্তে অবস্থিত,
   $y_1^2 = 16x_1 = 16 \times 2 = 32$
   $\implies y_1 = \pm\sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2}$

   চিত্রানুযায়ী $P$ বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায় $y_1 > 0$ বিবেচনা করলে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 4\sqrt{2})$।
   (সাধারণভাবে স্থানাঙ্ক: $(2, \pm 4\sqrt{2})$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ:
   $x^2 - 3y^2 - 4x - 8 = 0$
   $\implies (x^2 - 4x + 4) - 3y^2 = 8 + 4$
   $\implies (x - 2)^2 - 3y^2 = 12$
   $\implies \frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{y^2}{4} = 1$

   ধরি, $X = x - 2$ এবং $Y = y$।
   তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$
   যেখানে $a^2 = 12 \implies a = 2\sqrt{3}$ এবং $b^2 = 4 \implies b = 2$।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

   ১. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\text{ একক}$

   ২. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   $X = \pm ae$
   $\implies x - 2 = \pm 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$
   $\implies x - 2 = \pm 4$

   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x - 2 = 4 \implies x - 6 = 0$
   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x - 2 = -4 \implies x + 2 = 0$

   অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক এবং সমীকরণ $x - 6 = 0$ ও $x + 2 = 0$।