গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(i) নির্ণেয় সমীকরণ:
প্রদত্ত সমীকরণ $px^2 + qx + r = 0$-এর মূলদ্বয় $a$ ও $b$।
$\therefore a + b = -\frac{q}{p}$ এবং $ab = \frac{r}{p}$

নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha = a^2 + a$ এবং $\beta = b^2 + b$।
মূলদ্বয়ের যোগফল,
$\alpha + \beta = (a^2 + b^2) + (a + b) = (a + b)^2 - 2ab + (a + b)$
$= \left(-\frac{q}{p}\right)^2 - 2\left(\frac{r}{p}\right) + \left(-\frac{q}{p}\right) = \frac{q^2 - pq - 2pr}{p^2}$

মূলদ্বয়ের গুণফল,
$\alpha\beta = a(a + 1)b(b + 1) = ab[ab + (a + b) + 1]$
$= \frac{r}{p}\left[\frac{r}{p} - \frac{q}{p} + 1\right] = \frac{r(r - q + p)}{p^2}$

যেহেতু নতুন সমীকরণের মুখ্যসহগ $p^2$,
$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:
$p^2 x^2 - p^2(\alpha + \beta)x + p^2(\alpha\beta) = 0$
$\implies p^2x^2 - (q^2 - pq - 2pr)x + r(p - q + r) = 0$

(ii) নিশ্চায়কের অনুপাত:
প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক, $D_1 = p^2(a - b)^2 = q^2 - 4pr$
নতুন সমীকরণের নিশ্চায়ক,
$D_2 = (p^2)^2 (\alpha - \beta)^2 = p^4 [(a^2 - b^2) + (a - b)]^2$
$= p^4 (a - b)^2 (a + b + 1)^2 = p^2 \cdot [p^2(a - b)^2] \cdot \left(-\frac{q}{p} + 1\right)^2$
$= p^2 \cdot D_1 \cdot \frac{(p - q)^2}{p^2} = D_1(p - q)^2$

$\therefore$ প্রদত্ত সমীকরণ ও নতুন সমীকরণের নিশ্চায়কের অনুপাত:
$\frac{D_1}{D_2} = \frac{1}{(p - q)^2}$ বা $1 : (p - q)^2$