উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, দুটি বল $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে তাদের লব্ধি $R$ এর মান:
   $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha$
   এখানে দেওয়া আছে, $P = Q$, $R = 3\sqrt{3}\text{ N}$ এবং $\alpha = 60^\circ$।

   সুতরাং,
   $(3\sqrt{3})^2 = P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cos 60^\circ$
   $\Rightarrow 27 = 2P^2 + 2P^2 \cdot \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow 27 = 3P^2$
   $\Rightarrow P^2 = 9$
   $\Rightarrow P = 3\text{ N}$

   অতএব, সমান বলদ্বয়ের মান $P = Q = 3\text{ N}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-১ হতে পাই,
   বলদ্বয় $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং লব্ধি $R$, $P$ বলের সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করে।
   সুতরাং, $R$ এবং $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $= \alpha - \theta$।

   উদ্দীপক অনুসারে, $\alpha = 3\theta$
   অতএব, $R$ এবং $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $= 3\theta - \theta = 2\theta$।

   বলের সাইন সূত্র (Lami's Theorem / Sine Rule for resultant) অনুযায়ী:
   $\frac{P}{\sin(2\theta)} = \frac{Q}{\sin \theta} = \frac{R}{\sin(180^\circ - 3\theta)} = \frac{R}{\sin 3\theta}$

   প্রথম দুটি অনুপাত হতে:
   $\frac{P}{\sin 2\theta} = \frac{Q}{\sin \theta}$
   $\Rightarrow \frac{P}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{Q}{\sin \theta}$
   $\Rightarrow \cos \theta = \frac{P}{2Q} \quad \text{--- (i)}$

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে:
   $\frac{R}{\sin 3\theta} = \frac{Q}{\sin \theta}$
   $\Rightarrow R = \frac{Q \sin 3\theta}{\sin \theta}$
   $\Rightarrow R = \frac{Q (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)}{\sin \theta}$
   $\Rightarrow R = Q(3 - 4\sin^2 \theta)$
   $\Rightarrow R = Q(3 - 4(1 - \cos^2 \theta))$
   $\Rightarrow R = Q(3 - 4 + 4\cos^2 \theta)$
   $\Rightarrow R = Q(4\cos^2 \theta - 1)$

   সমীকরণ (i) থেকে $\cos \theta$-এর মান বসিয়ে পাই:
   $R = Q \left[ 4 \left( \frac{P}{2Q} \right)^2 - 1 \right]$
   $R = Q \left[ 4 \cdot \frac{P^2}{4Q^2} - 1 \right]$
   $R = Q \left[ \frac{P^2}{Q^2} - 1 \right]$
   $R = Q \left( \frac{P^2 - Q^2}{Q^2} \right)$
   $R = \frac{P^2 - Q^2}{Q}$
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P = 10\text{ N}$ এবং $Q = 5\text{ N}$ মানের দুটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল। এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব $AB = 20\text{ মিটার}$।
   ধরি, প্রাথমিক অবস্থায় লব্ধি $AB$ রেখার উপর $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, সমমুখী সমান্তরাল বলের নিয়ম অনুযায়ী:
   $10 \times AC = 5 \times BC$
   $\Rightarrow 10 \cdot AC = 5(AB - AC)$
   $\Rightarrow 10 \cdot AC = 5(20 - AC)$
   $\Rightarrow 10 \cdot AC = 100 - 5 \cdot AC$
   $\Rightarrow 15 \cdot AC = 100$
   $\Rightarrow AC = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}\text{ মিটার}$

   বলদ্বয় পরস্পরের স্থান বিনিময় করলে, $A$ বিন্দুতে $5\text{ N}$ এবং $B$ বিন্দুতে $10\text{ N}$ বল ক্রিয়া করবে।
   ধরি, নতুন লব্ধির অবস্থান $C'$ বিন্দুতে।
   সুতরাং:
   $5 \times AC' = 10 \times BC'$
   $\Rightarrow 5 \cdot AC' = 10(20 - AC')$
   $\Rightarrow 5 \cdot AC' = 200 - 10 \cdot AC'$
   $\Rightarrow 15 \cdot AC' = 200$
   $\Rightarrow AC' = \frac{200}{15} = \frac{40}{3}\text{ মিটার}$

   অতএব, লব্ধির সরণ:
   $CC' = AC' - AC = \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3}\text{ মিটার} \approx 6.67\text{ মিটার}$

   লব্ধি $AB$ বরাবর $\frac{20}{3}\text{ মিটার}$ বা $6.67\text{ মিটার}$ দূরে সরে যাবে।