উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত দুটি সমান বলের প্রতিটি $P$ এবং এদের লব্ধি $R$, যা প্রথম বলটির সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

   আমরা জানি,
   $\tan \theta = \frac{P \sin \alpha}{P + P \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$
   $= \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$

   $\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}$

   অতএব, দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-১ এ বলগুলো $P$ বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

   $5\text{ N}$ বলের ক্রিয়া রেখাকে $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিক এবং এর লম্ব দিককে $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বিবেচনা করি।

   বলগুলো হলো:
   ১. $5\text{ N}$ বল, যা $x$-অক্ষের সাথে $0^\circ$ কোণ তৈরি করে।
   ২. $F\text{ N}$ বল, যা $x$-অক্ষের সাথে $\alpha$ কোণ তৈরি করে।
   ৩. $15\text{ N}$ বল, যা $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে নিচে $20^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে কোণ $= 180^\circ + 20^\circ = 200^\circ$।
   ৪. $25\text{ N}$ বল, যা উলম্বভাবে নিচের দিকে ক্রিয়ারত, অর্থাৎ ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে কোণ $= 270^\circ$।

   যেহেতু বলগুলো সাম্যাবস্থায় আছে, তাই অনুভূমিক উপাংশগুলোর বীজগণিতীয় সমষ্টি শূন্য হবে:
   $5 \cos 0^\circ + F \cos \alpha + 15 \cos 200^\circ + 25 \cos 270^\circ = 0$
   $\Rightarrow 5(1) + F \cos \alpha + 15(-0.9397) + 0 = 0$
   $\Rightarrow 5 + F \cos \alpha - 14.0954 = 0$
   $\Rightarrow F \cos \alpha = 9.0954 \quad \text{--- (১)}$

   আবার, উলম্ব উপাংশগুলোর বীজগণিতীয় সমষ্টি শূন্য হবে:
   $5 \sin 0^\circ + F \sin \alpha + 15 \sin 200^\circ + 25 \sin 270^\circ = 0$
   $\Rightarrow 0 + F \sin \alpha + 15(-0.3420) + 25(-1) = 0$
   $\Rightarrow F \sin \alpha - 5.1303 - 25 = 0$
   $\Rightarrow F \sin \alpha = 30.1303 \quad \text{--- (২)}$

   (২) নং সমীকরণকে (১) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\tan \alpha = \frac{30.1303}{9.0954} \approx 3.3127$
   $\therefore \alpha = \tan^{-1}(3.3127) \approx 73.2^\circ$

   এখন, (১) ও (২) নং সমীকরণদ্বয়কে বর্গ করে যোগ করি:
   $F^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = (9.0954)^2 + (30.1303)^2$
   $\Rightarrow F^2 = 82.726 + 907.835 = 990.561$
   $\therefore F = \sqrt{990.561} \approx 31.47\text{ N}$

   উত্তর: $F \approx 31.47\text{ N}$ এবং $\alpha \approx 73.2^\circ$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-২ এ $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $10\text{ N}$ এবং $20\text{ N}$ মানের দুটি অসদৃশ ও সমান্তরাল বল বিপরীতমুখী হয়ে ক্রিয়ারত।

   ধরি, $AB = d$।
   যেহেতু বল দুটি অসদৃশ সমান্তরাল এবং $20\text{ N} > 10\text{ N}$, তাই লব্ধি বল বৃহত্তর বল $20\text{ N}$ এর দিকে $AB$ এর বর্ধিতাংশের উপর কোনো বিন্দু $C$ তে বাইরের দিকে কাজ করবে।

   সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী:
   $10 \times AC = 20 \times BC$
   $\Rightarrow 10 \times (AB + BC) = 20 \times BC$
   $\Rightarrow 10 \cdot AB + 10 \cdot BC = 20 \cdot BC$
   $\Rightarrow 10 \cdot BC = 10 \cdot AB$
   $\therefore BC = AB = d$
   অতএব, প্রথম ক্ষেত্রে লব্ধির অবস্থান $B$ বিন্দু হতে $d$ দূরত্বে অবস্থিত।

   এখন, উভয় বলকে সমপরিমাণে $x$ পরিমাণ বৃদ্ধি করা হলে:
   নতুন বল দুটি হবে $(10 + x)\text{ N}$ এবং $(20 + x)\text{ N}$।
   ধরি, নতুন লব্ধি $AB$ রেখার বর্ধিতাংশের উপর $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

   তাহলে,
   $(10 + x) \times AC' = (20 + x) \times BC'$
   $\Rightarrow (10 + x)(AB + BC') = (20 + x) BC'$
   $\Rightarrow (10 + x)AB + (10 + x)BC' = (20 + x)BC'$
   $\Rightarrow (10 + x)AB = \{(20 + x) - (10 + x)\} BC'$
   $\Rightarrow (10 + x) d = 10 \cdot BC'$
   $\therefore BC' = \frac{10 + x}{10} d = \left(1 + \frac{x}{10}\right) d = d + \frac{x}{10}d$

   যেহেতু $x > 0$ এবং $d > 0$, তাই $\frac{x}{10}d > 0$।
   $\therefore BC' > BC$

   সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে বল দুটিকে সমপরিমাণে বৃদ্ধি করলে নতুন লব্ধি $B$ বিন্দু থেকে আরও দূরে সরে যাবে। (দেখানো হলো)