Find the sum of the first n terms of the series : 1+52.32+103.422+174.523+… 1 + \frac{5}{2.3} 2 + \frac{10}{3.4} 2^{2} + \frac{17}{4.5} 2^{3} + \ldots

Question

Find the sum of the first n terms of the series :   1+52.32+103.422+174.523+… 1 + \frac{5}{2.3} 2 + \frac{10}{3.4} 2^{2} + \frac{17}{4.5} 2^{3} + \ldots

Accepted Answer

খ. n2nn+1 \frac{n 2^{n}}{n + 1}

ব্যাখ্যা: ধারাটির $r$-তম পদটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়:
$$T_r = \frac{r^2 + 1}{r(r+1)} 2^{r-1}$$
- $r=1$ হলে, $T_1 = \frac{1^2+1}{1 \cdot 2} 2^0 = 1$
- $r=2$ হলে, $T_2 = \frac{2^2+1}{2 \cdot 3} 2^1 = \frac{5}{2 \cdot 3} 2$
- $r=3$ হলে, $T_3 = \frac{3^2+1}{3 \cdot 4} 2^2 = \frac{10}{3 \cdot 4} 2^2$

যদি প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $S_n = \frac{n 2^n}{n+1}$ ধরা হয়, তবে:
$$S_n - S_{n-1} = \frac{n 2^n}{n+1} - \frac{(n-1)2^{n-1}}{n}$$
$$= 2^{n-1} \left[ \frac{2n}{n+1} - \frac{n-1}{n} \right] = 2^{n-1} \left[ \frac{2n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} \right] = \frac{n^2 + 1}{n(n+1)} 2^{n-1} = T_n$$
সুতরাং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি হলো $S_n = \frac{n 2^n}{n+1}$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন