গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$(1+i)(1+2i)(1+3i)\dots(1+ni) = a+ib$

উভয়পক্ষে পরমমান (Modulus) নিয়ে পাই,
$|(1+i)(1+2i)(1+3i)\dots(1+ni)| = |a+ib|$

আমরা জানি, $|z_1 z_2 \dots z_n| = |z_1| |z_2| \dots |z_n|$। সুতরাং,
$|1+i| \cdot |1+2i| \cdot |1+3i| \dots |1+ni| = |a+ib|$

বা,
$\sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2} \dots \sqrt{1^2+n^2} = \sqrt{a^2+b^2}$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \dots \sqrt{1+n^2} = \sqrt{a^2+b^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$2 \times 5 \times 10 \times \dots \times (1+n^2) = a^2+b^2$

উত্তর: $a^2 + b^2$