উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    দেখাও যে, b+cb−c=sin⁡B+sin⁡Csin⁡B−sin⁡C \frac{b+c}{b-c}=\frac{\sin B+\sin C}{\sin B-\sin C}

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, cos⁡Asin⁡Bsin⁡C+cos⁡Bsin⁡Csin⁡A+cos⁡Csin⁡Asin⁡B=2 \frac{\cos \mathrm{A}}{\sin B \sin \mathrm{C}}+\frac{\cos \mathrm{B}}{\sin C \sin \mathrm{A}}+\frac{\cos \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}}=2

    (4)
  3. গ)

    α=45∘,β=60∘ \alpha=45^{\circ}, \beta=60^{\circ} এবং a=(3+1) a=(\sqrt{3}+1) সে. মি. হলে, △ABC \triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, যে কোনো ত্রিভুজ △ABC\triangle ABC-এ সাইন সূত্রানুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    যেখানে RR ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

    সুতরাং,
    b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B
    c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C

    এখন, বামপক্ষ:
    =b+cb−c= \frac{b+c}{b-c}
    =2Rsin⁡B+2Rsin⁡C2Rsin⁡B−2Rsin⁡C= \frac{2R \sin B + 2R \sin C}{2R \sin B - 2R \sin C}
    =2R(sin⁡B+sin⁡C)2R(sin⁡B−sin⁡C)= \frac{2R(\sin B + \sin C)}{2R(\sin B - \sin C)}
    =sin⁡B+sin⁡Csin⁡B−sin⁡C= \frac{\sin B + \sin C}{\sin B - \sin C}
    = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ
    =cos⁡Asin⁡Bsin⁡C+cos⁡Bsin⁡Csin⁡A+cos⁡Csin⁡Asin⁡B= \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B}{\sin C \sin A} + \frac{\cos C}{\sin A \sin B}
    =cos⁡Asin⁡A+cos⁡Bsin⁡B+cos⁡Csin⁡Csin⁡Asin⁡Bsin⁡C= \frac{\cos A \sin A + \cos B \sin B + \cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C}
    =2sin⁡Acos⁡A+2sin⁡Bcos⁡B+2sin⁡Ccos⁡C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C= \frac{2\sin A \cos A + 2\sin B \cos B + 2\sin C \cos C}{2\sin A \sin B \sin C}
    =sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C= \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2\sin A \sin B \sin C}

    যেহেতু △ABC\triangle ABC-এ A+B+C=πA + B + C = \pi, সেহেতু:
    sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C

    অতএব,
    =4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C= \frac{4\sin A \sin B \sin C}{2\sin A \sin B \sin C}
    =2= 2
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রমতে,
    ∠B=α=45∘\angle B = \alpha = 45^\circ
    ∠C=β=60∘\angle C = \beta = 60^\circ

    আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ।
    ∴∠A=180∘−(α+β)=180∘−(45∘+60∘)=75∘\therefore \angle A = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ

    দেওয়া আছে, a=(3+1)a = (\sqrt{3} + 1) সে.মি.

    সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
    asin⁡A=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
    ⇒c=asin⁡Csin⁡A\Rightarrow c = \frac{a \sin C}{\sin A}

    এখানে,
    sin⁡A=sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin A = \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
    =12⋅32+12⋅12=3+122= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

    এবং sin⁡C=sin⁡60∘=32\sin C = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

    সুতরাং,
    c=(3+1)⋅323+122=32⋅22=6c = \frac{(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{6} সে.মি.

    এখন, △ABC\triangle ABC-এর ক্ষেত্রফল:
    Δ=12acsin⁡B\Delta = \frac{1}{2} a c \sin B
    =12⋅(3+1)⋅6⋅sin⁡45∘= \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ
    =12⋅(3+1)⋅6⋅12= \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
    =12⋅(3+1)⋅3= \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{3}
    =3+32= \frac{3 + \sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি.
    ≈2.366\approx 2.366 বর্গ সে.মি.

    উত্তর: 3+32\frac{3 + \sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি. বা প্রায় 2.3662.366 বর্গ সে.মি.।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন