গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২৩-২০২৪

গণিত প্রশ্ন

11.

প্রমাণ কর যে, 2sin⁡11∘15′=2−2+22 \sin 11^\circ 15' = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

আমরা জানি,
11∘15′=(11+1560)∘=(11+14)∘=45∘411^\circ 15' = \left(11 + \frac{15}{60}\right)^\circ = \left(11 + \frac{1}{4}\right)^\circ = \frac{45^\circ}{4}

ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে,
2sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta
উভয়পক্ষকে 22 দ্বারা গুণ করে পাই,
4sin⁡2θ=2−2cos⁡2θ4\sin^2\theta = 2 - 2\cos 2\theta
2sin⁡θ=2−2cos⁡2θ[∵θ=11∘15′ সূক্ষ্মকোণ, তাই sin⁡θ>0]2\sin\theta = \sqrt{2 - 2\cos 2\theta} \quad [\because \theta = 11^\circ 15' \text{ সূক্ষ্মকোণ, তাই } \sin\theta > 0]

এখানে θ=11∘15′\theta = 11^\circ 15' বসালে,
2sin⁡11∘15′=2−2cos⁡(22∘30′)2\sin 11^\circ 15' = \sqrt{2 - 2\cos\left(22^\circ 30'\right)}

আবার,
2cos⁡(22∘30′)=4cos⁡2(22∘30′)2\cos\left(22^\circ 30'\right) = \sqrt{4\cos^2\left(22^\circ 30'\right)}
=2⋅2cos⁡2(22∘30′)= \sqrt{2 \cdot 2\cos^2\left(22^\circ 30'\right)}
=2(1+cos⁡45∘)= \sqrt{2(1 + \cos 45^\circ)}
=2(1+12)= \sqrt{2\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}
=2+22= \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{2}}}
=2+2= \sqrt{2 + \sqrt{2}}

সুতরাং,
2sin⁡11∘15′=2−2+2(প্রমাণিত)2\sin 11^\circ 15' = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \quad \text{(প্রমাণিত)}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন