পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ত্রিমাত্রিক স্কেলার ক্ষেত্র বা অপেক্ষকের পরিবর্তনের সর্বোচ্চ হারের মান এবং দিক নির্দেশকারী ভেক্টর রাশিকে ঐ স্কেলার অপেক্ষকের গ্র্যাডিয়েন্ট বলে। গাণিতিকভাবে, স্কেলার অপেক্ষক $\phi$ হলে এর গ্র্যাডিয়েন্ট $\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{k}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কাজ হলো বল ও বলের দিকে সরণের উপাংশের গুণফল ($W = \vec{F} \cdot \vec{s}$)। বলের একক নিউটন (N) এবং সরণের একক মিটার (m), সুতরাং কাজের একক $\text{N}\cdot\text{m}$ (বা জুল)।
   অন্যদিকে, টর্ক হলো ঘূর্ণন অক্ষ হতে প্রযুক্ত বলের দূরত্বের ভেক্টর ও বলের ভেক্টর গুণফল ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$)। দূরত্বের একক মিটার (m) এবং বলের একক নিউটন (N), ফলে টর্কের এককও $\text{N}\cdot\text{m}$।
   উভয়েরই মৌলিক মাত্রা সমীকরণ $[M L^2 T^{-2}]$। কাজের প্রকৃতি স্কেলার এবং টর্কের প্রকৃতি ভেক্টর হলেও, উভয়েই বল এবং দূরত্বের গুণফল হওয়ায় এদের একক অভিন্ন (নিউটন-মিটার বা $\text{N}\cdot\text{m}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $O(0, 0, 0)$ বিন্দুর সাপেক্ষে,
   $P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_P = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
   $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r}_Q = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$

   অতএব, $\vec{PQ} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$
   $\Rightarrow \vec{PQ} = (-2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$
   $\Rightarrow \vec{PQ} = (-2 - 2)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (1 - 3)\hat{k}$
   $\Rightarrow \vec{PQ} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$

   $\vec{PQ}$ ভেক্টরের মান,
   $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$

   অতএব, $\vec{PQ}$ ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \pm \frac{-4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{29}}$ (বা $\frac{-4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{29}}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে তিনটি শীর্ষবিন্দু হলো $O(0, 0, 0)$, $P(2, -1, 3)$ এবং $Q(-2, 2, 1)$।

   বাহু নির্দেশক ভেক্টরসমূহ:
   $\vec{OP} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
   $\vec{OQ} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{PQ} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$

   বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের বর্গ:
   $OP^2 = |\vec{OP}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
   $OQ^2 = |\vec{OQ}|^2 = (-2)^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$
   $PQ^2 = |\vec{PQ}|^2 = (-4)^2 + 3^2 + (-2)^2 = 16 + 9 + 4 = 29$

   এখানে,
   $OP^2 + OQ^2 = 14 + 9 = 23 \neq 29$ ($PQ^2$ এর সমান নয়)
   $OQ^2 + PQ^2 = 9 + 29 = 38 \neq 14$
   $OP^2 + PQ^2 = 14 + 29 = 43 \neq 9$

   বিকল্পভাবে, মধ্যবর্তী কোণসমূহের ডট গুণন:
   $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (2)(-2) + (-1)(2) + (3)(1) = -4 - 2 + 3 = -3 \neq 0$
   $\vec{OP} \cdot \vec{PQ} = (2)(-4) + (-1)(3) + (3)(-2) = -8 - 3 - 6 = -17 \neq 0$
   $\vec{OQ} \cdot \vec{PQ} = (-2)(-4) + (2)(3) + (1)(-2) = 8 + 6 - 2 = 12 \neq 0$

   যেহেতু কোনো দুটি বাহু পরস্পর লম্ব নয় এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য হয় না, তাই $\Delta OPQ$ সমকোণী ত্রিভুজ নয়।