উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $3y^2 - 5x^2 = 15$
   $\implies \frac{3y^2}{15} - \frac{5x^2}{15} = 1$
   $\implies \frac{y^2}{5} - \frac{x^2}{3} = 1$
   $\implies \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} - \frac{x^2}{(\sqrt{3})^2} = 1$

   এটি $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত, যেখানে $b^2 = 5, a^2 = 3$।
   অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
   অতএব, $be = \sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$
   সুতরাং, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(0, \pm be) = (0, \pm 2\sqrt{2})$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $3x^2 + 9x - 6y - 8 = 0$
   $\implies 3(x^2 + 3x) = 6y + 8$
   $\implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{8}{3} + \frac{9}{4}$
   $\implies \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{59}{12} = 2\left(y + \frac{59}{24}\right)$
   $\implies X^2 = 4AY$, যেখানে $X = x + \frac{3}{2}$, $Y = y + \frac{59}{24}$, এবং $4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$।

   (i) উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
   $X^2 = 4AY$ পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\pm 2A, A)$।
   এখানে, $2A = 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1$ এবং $A = \frac{1}{2}$।
   $X = \pm 1 \implies x + \frac{3}{2} = \pm 1$
   ধনাচিহ্ন নিয়ে, $x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
   ঋণাচিহ্ন নিয়ে, $x = -1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$
   এবং $Y = A \implies y + \frac{59}{24} = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2} - \frac{59}{24} = \frac{12 - 59}{24} = -\frac{47}{24}$
   সুতরাং, উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় হলো $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{47}{24}\right)$ এবং $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{47}{24}\right)$।

   (ii) নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $Y + A = 0$
   $\implies y + \frac{59}{24} + \frac{1}{2} = 0$
   $\implies y + \frac{71}{24} = 0$
   $\implies 24y + 71 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
   যেহেতু $e < 1$, তাই কণিকটি একটি উপবৃত্ত। কেন্দ্র মূলবিন্দুতে $(0,0)$ অবস্থিত।

   ক্ষেত্র ১: বৃহৎ অক্ষ x-অক্ষ বরাবর হলে উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (যেখানে $a > b$):
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2b^2}{a} = 10 \implies b^2 = 5a$
   আমরা জানি, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
   $\implies e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{1}{3} = 1 - \frac{5a}{a^2} = 1 - \frac{5}{a}$
   $\implies \frac{5}{a} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies 2a = 15 \implies a = \frac{15}{2}$
   অতএব, $a^2 = \frac{225}{4}$ এবং $b^2 = 5a = 5 \cdot \frac{15}{2} = \frac{75}{2}$
   সমীকরণটি হবে:
   $\frac{x^2}{225/4} + \frac{y^2}{75/2} = 1 \implies \frac{4x^2}{225} + \frac{2y^2}{75} = 1 \implies 4x^2 + 6y^2 = 225$

   ক্ষেত্র ২: বৃহৎ অক্ষ y-অক্ষ বরাবর হলে উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (যেখানে $a > b$):
   একইভাবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{2b^2}{a} = 10 \implies a = \frac{15}{2}, a^2 = \frac{225}{4}, b^2 = \frac{75}{2}$
   তখন সমীকরণটি হবে:
   $\frac{x^2}{75/2} + \frac{y^2}{225/4} = 1 \implies 6x^2 + 4y^2 = 225$

   অতএব, কণিকটির নির্ণেয় সমীকরণ: $4x^2 + 6y^2 = 225$ অথবা $6x^2 + 4y^2 = 225$।