পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে A⃗=9i^+j^−6k^ \vec{A} = 9\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k} , B⃗=4i^−6j^+5k^ \vec{B} = 4\hat{i} - 6\hat{j} + 5\hat{k} এবং V⃗=3xyz2i^+2xy2j^−x3y2zk^ \vec{V} = 3xyz^2\hat{i} + 2xy^2\hat{j} - x^3y^2z\hat{k} .

  1. ক)

    ব্যাসার্ধ ভেক্টর কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর—ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    (1,−1,1) (1, -1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗ \vec{V} এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    A⃗ \vec{A} কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করলে B⃗ \vec{B} ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক নির্দেশ করবে কি-না—গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যাসহ মতামত দাও।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয়, তাকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বা অবস্থান ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেসব ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট বা নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুতে সীমাবদ্ধ থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর (Localized vector) বলে। অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুকে (Origin) নির্দিষ্ট পাদবিন্দু হিসেবে বিবেচনা করা হয়। মূল বিন্দু পরিবর্তন না হলে অবস্থান ভেক্টরের পাদবিন্দু অন্য কোথাও স্থানান্তর করা যায় না। যেহেতু এর পাদবিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (মূল বিন্দুতে) নির্ধারিত থাকে, তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    V⃗=3xyz2i^+2xy2j^−x3y2zk^\vec{V} = 3xyz^2\hat{i} + 2xy^2\hat{j} - x^3y^2z\hat{k}

    ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗\vec{V}-এর ডাইভারজেন্স,
    div V⃗=∇⃗⋅V⃗=∂∂x(3xyz2)+∂∂y(2xy2)+∂∂z(−x3y2z)\text{div } \vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}(3xyz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-x^3y^2z)
    =3yz2+4xy−x3y2= 3yz^2 + 4xy - x^3y^2

    এখন, (1,−1,1)(1, -1, 1) বিন্দুতে,
    x=1,y=−1,z=1x = 1, y = -1, z = 1
    মান বসিয়ে পাই,
    div V⃗=3(−1)(1)2+4(1)(−1)−(1)3(−1)2\text{div } \vec{V} = 3(-1)(1)^2 + 4(1)(-1) - (1)^3(-1)^2
    =−3−4−(1)(1)= -3 - 4 - (1)(1)
    =−3−4−1=−8= -3 - 4 - 1 = -8

    অতএব, (1,−1,1)(1, -1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗\vec{V} এর ডাইভারজেন্স −8-8।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বৃত্তের ক্ষেত্রে আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের (বা ব্যাসার্ধের) ওপর লম্ব হয়।

    সুতরাং, A⃗\vec{A} যদি বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করে এবং স্পর্শবিন্দুটি যদি ঐ ব্যাসের প্রান্তে অবস্থিত হয়, তবে B⃗\vec{B} স্পর্শক নির্দেশ করলে A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} পরস্পর লম্ব হতে হবে। দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন শূন্য (00) হবে।

    এখানে,
    A⃗=9i^+j^−6k^\vec{A} = 9\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}
    B⃗=4i^−6j^+5k^\vec{B} = 4\hat{i} - 6\hat{j} + 5\hat{k}

    A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B}-এর ডট গুণন:
    A⃗⋅B⃗=(9)(4)+(1)(−6)+(−6)(5)\vec{A} \cdot \vec{B} = (9)(4) + (1)(-6) + (-6)(5)
    =36−6−30= 36 - 6 - 30
    =36−36=0= 36 - 36 = 0

    যেহেতু A⃗⋅B⃗=0\vec{A} \cdot \vec{B} = 0, সেহেতু ভেক্টর A⃗\vec{A} এবং ভেক্টর B⃗\vec{B} পরস্পর লম্ব।

    অতএব, যদি A⃗\vec{A} কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করে, তবে ব্যাসের প্রান্তবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ভেক্টর B⃗\vec{B}-এর সমান্তরাল হবে। ফলে B⃗\vec{B} ভেক্টরটি ঐ বৃত্তের পরিধির ওপর অঙ্কিত স্পর্শকের দিক নির্দেশ করতে পারে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন