পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো রাশিমালার মানগুলো তাদের মাঝামাঝি কোনো একটি কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত বা একত্রিত হওয়ার প্রবণতা পরিমাপ করার সংখ্যাতাত্ত্বিক পদ্ধতিকে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উন্মুক্ত শ্রেণিব্যাপ্তিযুক্ত (open-ended class interval) গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না। কারণ, প্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা বা শেষ শ্রেণির উচ্চসীমা জানা না থাকলে মধ্যবিন্দু বা প্রতিনিধিস্থানীয় মান ($x_i$) নির্ধারণ করা সম্ভব হয় না। তাছাড়া রাশিমালার কোনো মান অজ্ঞাত বা হারিয়ে গেলে কিংবা তথ্যগুলো গুণবাচক হলে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি (মাছের ওজন) | গণসংখ্যা ($f_i$) | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($CF$)
   1 - 2 | 10 | 10
   2 - 3 | 15 | 25
   3 - 4 | 5 | 30
   4 - 5 | 9 | 39
   5 - 6 | 6 | 45
   মোট গণসংখ্যা, $N = 45$

   এখানে, $\frac{N}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$
   অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো (2 - 3), কারণ এর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 25, যাতে 22.5 অন্তর্ভুক্ত।

   আমরা জানি, মধ্যমা $Me = L + \frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m} \times c$
   এখানে,
   $L =$ মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা = 2
   $\frac{N}{2} = 22.5$
   $F_c =$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 10
   $f_m =$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা = 15
   $c =$ মধ্যমা শ্রেণির ব্যবধান = 1

   $\therefore Me = 2 + \frac{22.5 - 10}{15} \times 1 = 2 + \frac{12.5}{15} \approx 2 + 0.833 = 2.833$ কেজি।

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা 2.833 কেজি (প্রায়)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে গাণিতিক গড় (AM) এবং তরঙ্গ গড় (HM) নির্ণয়ের সারণি তৈরি করি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি | গণসংখ্যা ($f_i$) | মধ্যবিন্দু ($x_i$) | $f_i x_i$ | $\frac{f_i}{x_i}$
   1 - 2 | 10 | 1.5 | 15 | 6.667
   2 - 3 | 15 | 2.5 | 37.5 | 6.000
   3 - 4 | 5 | 3.5 | 17.5 | 1.429
   4 - 5 | 9 | 4.5 | 40.5 | 2.000
   5 - 6 | 6 | 5.5 | 33 | 1.091
   মোট | $N = 45$ | | $\sum f_i x_i = 143.5$ | $\sum \frac{f_i}{x_i} = 17.187$

   ১. গাণিতিক গড় (AM):
   $AM = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{143.5}{45} \approx 3.189$

   ২. তরঙ্গ গড় (HM):
   $HM = \frac{N}{\sum \frac{f_i}{x_i}} = \frac{45}{17.187} \approx 2.618$

   সম্পর্ক স্থাপন ও মন্তব্য:
   এখানে দেখা যাচ্ছে যে, $AM = 3.189$ এবং $HM = 2.618$।
   অর্থাৎ, $AM > HM$।
   আমরা জানি, কোনো অশূন্য ধনাত্মক অসমান রাশিমালার ক্ষেত্রে সর্বদা $AM > GM > HM$ সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে। যেহেতু প্রদত্ত তথ্যের চলকের মানগুলো পরস্পর অসমান এবং ধনাত্মক, তাই উদ্দীপকের তথ্যের ক্ষেত্রে $AM > HM$ সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত ও সত্য।