পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

P→=5i^+3j^−mk^\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\mathrm{m} \hat{\mathrm{k}} ও Q=ı^+ȷ^+4k^Q=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k} এখানে P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} পরস্পর লম্ব । যদি P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

  1. ক)

    সমতলীয় ভেক্টর কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    স্রোতের সাথে আড়ায়াড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে নৌকা কীভাবে চালাতে হবে-ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    ‘m’ এর মান নির্ণয় কর

    (3)
  4. ঘ)

    যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কিনা-গাণিতিক মানের সাহায্যে ব্যাখ্যা কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কতকগুলো ভেক্টর যদি একই সমতলে অবস্থিত হয়, তবে তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে (অর্থাৎ নদীটির এক পাড় থেকে সোজা বিপরীত পাড়ে লম্বভাবে) নদী পার হতে হলে নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে স্থূলকোণে চালাতে হবে। যদি স্রোতের বেগ vv এবং নৌকার বেগ uu হয়, তবে লব্ধি বেগকে স্রোতের সাথে 90∘90^\circ কোণে থাকতে হলে দিক হবে cos⁡α=−vu\cos\alpha = -\frac{v}{u}। সুতরাং, α=cos⁡−1(−vu)\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{v}{u}\right) কোণে নৌকাটি চালনা করতে হবে, যেন নৌকার বেগের উপাংশ স্রোতের বেগকে নিষ্ক্রিয় করে কেবল নদীর পারের লম্ব বরাবর অগ্রসর হতে পারে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P⃗=5i^+3j^−mk^\vec{P} = 5\hat{i} + 3\hat{j} - m\hat{k}
    Q⃗=i^+j^+4k^\vec{Q} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}
    যেহেতু P⃗\vec{P} এবং Q⃗\vec{Q} পরস্পর লম্ব, সেহেতু এদের ডট গুণন শূন্য হবে:
    P⃗⋅Q⃗=0\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0
    ⇒(5)(1)+(3)(1)+(−m)(4)=0\Rightarrow (5)(1) + (3)(1) + (-m)(4) = 0
    ⇒5+3−4m=0\Rightarrow 5 + 3 - 4m = 0
    ⇒8−4m=0\Rightarrow 8 - 4m = 0
    ⇒4m=8⇒m=2\Rightarrow 4m = 8 \Rightarrow m = 2
    অতএব, mm এর মান 22।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ‘গ’ হতে পাই, m=2m = 2।
    নৌকার দ্রুতি, u=∣P⃗∣=52+32+(−2)2=25+9+4=38≈6.164 ms−1u = |\vec{P}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38} \approx 6.164\text{ ms}^{-1}
    স্রোতের দ্রুতি, v=∣Q⃗∣=12+12+42=1+1+16=18≈4.243 ms−1v = |\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} \approx 4.243\text{ ms}^{-1}

    সর্বনিম্ন পথে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে:
    লব্ধি বেগ, w=u2−v2=38−18=20≈4.472 ms−1w = \sqrt{u^2 - v^2} = \sqrt{38 - 18} = \sqrt{20} \approx 4.472\text{ ms}^{-1}
    নদী পার হতে সময় লাগে, t=2 min=120 st = 2\text{ min} = 120\text{ s}
    সুতরাং নদীর প্রস্থ, d=w×t=20×120≈536.66 md = w \times t = \sqrt{20} \times 120 \approx 536.66\text{ m}

    নৌকার মাঝি যদি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায়:
    তবে তাকে স্রোতের সাথে লম্বভাবে অর্থাৎ α=90∘\alpha = 90^\circ কোণে নৌকা চালাতে হবে।
    তখন নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকরী বেগ হবে কেবল নৌকার বেগ uu।
    পার হতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সময়,
    tmin⁡=du=536.6638≈87.06 st_{\min} = \frac{d}{u} = \frac{536.66}{\sqrt{38}} \approx 87.06\text{ s}
    এ ক্ষেত্রে নদীর স্রোত ও নৌকার বেগ পরস্পর লম্ব হওয়ায় মোট লব্ধি বেগ,
    R=u2+v2=38+18=56≈7.483 ms−1R = \sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{38 + 18} = \sqrt{56} \approx 7.483\text{ ms}^{-1}
    সুতরাং অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব,
    s=R×tmin⁡=56×d38=d5638=d×1.214≈651.51 ms = R \times t_{\min} = \sqrt{56} \times \frac{d}{\sqrt{38}} = d \sqrt{\frac{56}{38}} = d \times 1.214 \approx 651.51\text{ m}

    যেহেতু s=651.51 m>d=536.66 ms = 651.51\text{ m} > d = 536.66\text{ m},
    অতএব, মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চাইলে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন