উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $5x - 3y - 1 = 0 → 5x - 3y = 1 → \frac{x}{1/5} + \frac{y}{-1/3} = 1$
   অতএব, অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দুদ্বয় হলো $A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ এবং $B\left(0, -\frac{1}{3}\right)$।
   অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশ $AB$-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $\left(\frac{\frac{1}{5} + 0}{2}, \frac{0 + \left(-\frac{1}{3}\right)}{2}\right) = \left(\frac{1}{10}, -\frac{1}{6}\right)$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের ১ম রেখা: $2x + 3y + 6 = 0$
   ধরি, $(2, 3)$ বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুটি হলো $(h, k)$।
   আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ বিন্দুর $ax + by + c = 0$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব বিন্দু $(h, k)$ হলে:
   $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$
   এখানে, $x_1 = 2, y_1 = 3, a = 2, b = 3, c = 6$।
   $\therefore \frac{h - 2}{2} = \frac{k - 3}{3} = -\frac{2(2\cdot 2 + 3\cdot 3 + 6)}{2^2 + 3^2} = -\frac{2(4 + 9 + 6)}{4 + 9} = -\frac{2(19)}{13} = -\frac{38}{13}$
   সুতরাং,
   $h - 2 = 2 \times \left(-\frac{38}{13}\right) = -\frac{76}{13} \implies h = 2 - \frac{76}{13} = -\frac{50}{13}$
   $k - 3 = 3 \times \left(-\frac{38}{13}\right) = -\frac{114}{13} \implies k = 3 - \frac{114}{13} = -\frac{75}{13}$
   অতএব, নির্ণেয় প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{50}{13}, -\frac{75}{13}\right)$। (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের রেখাদ্বয়:
   $2x + 3y + 6 = 0$ ... (i)
   $3x + 2y - 6 = 0$ ... (ii)

   এখানে, $a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 6$ এবং $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -6$
   $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (2)(3) + (3)(2) = 6 + 6 = 12 > 0$
   যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 > 0$, তাই ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক পাওয়া যাবে:
   $\frac{2x + 3y + 6}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = +\frac{3x + 2y - 6}{\sqrt{3^2 + 2^2}}$
   $\implies \frac{2x + 3y + 6}{\sqrt{13}} = \frac{3x + 2y - 6}{\sqrt{13}}$
   $\implies 2x + 3y + 6 = 3x + 2y - 6$
   $\implies x - y - 12 = 0$
   $\implies y = x - 12$

   রেখাটির ঢাল, $m = 1$
   যদি রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে:
   $\tan\theta = 1 \implies \theta = 45^\circ$

   যেহেতু রেখাটি $x$-অক্ষের সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, সেহেতু এটি $y$-অক্ষের সাথে কোণ উৎপন্ন করবে:
   $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ (বা $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ সূক্ষ্মকোণ বা স্থূলকোণ ভেদে)
   সাধারণত সূক্ষ্মকোণ বিবেচনা করলে $y$-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ $45^\circ$। (Ans.)