উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, নদীর প্রস্থ $d = 240\text{ m}$।\nস্রোত না থাকলে সাঁতারু সোজাসুজি নদী পার হতে $t_1 = 6\text{ min} = 6 \times 60\text{ s} = 360\text{ s}$ সময় নেয়।\nসুতরাং, সাঁতারুর নিজস্ব বেগ $u = \frac{d}{t_1} = \frac{240}{360} = \frac{2}{3}\text{ m/s} \approx 0.67\text{ m/s}$ (বা $\frac{240\text{ m}}{6\text{ min}} = 40\text{ m/min}$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বস্তুটি $A$ থেকে স্থির অবস্থা ($u = 0$) হতে $f_1$ সমত্বরণে $t_1$ সময় চলে $B$ বিন্দুতে সর্বোচ্চ বেগ $v$ অর্জন করে এবং $s_1$ দূরত্ব অতিক্রম করে। এরপর $B$ থেকে $f_2$ সমমন্দনে $t_2$ সময় চলে $C$ বিন্দুতে থেমে যায় (শেষ বেগ $0$) এবং $s_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে।\n\nমোট সময় $t = t_1 + t_2$ এবং মোট দূরত্ব $s = s_1 + s_2$।\n\nপ্রথম অংশের জন্য:\n$v = 0 + f_1 t_1 \implies t_1 = \frac{v}{f_1}$\n$v^2 = 0^2 + 2f_1 s_1 \implies s_1 = \frac{v^2}{2f_1}$\n\nদ্বিতীয় অংশের জন্য:\n$0 = v - f_2 t_2 \implies t_2 = \frac{v}{f_2}$\n$0^2 = v^2 - 2f_2 s_2 \implies s_2 = \frac{v^2}{2f_2}$\n\nঅতএব,\n$t = t_1 + t_2 = \frac{v}{f_1} + \frac{v}{f_2} = v\left(\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}\right) \implies v = \frac{t f_1 f_2}{f_1 + f_2}$\n\nএবং মোট দূরত্ব:\n$s = s_1 + s_2 = \frac{v^2}{2f_1} + \frac{v^2}{2f_2} = \frac{v^2}{2}\left(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right) = \frac{v^2 (f_1 + f_2)}{2 f_1 f_2}$\n\n$v$-এর মান বসিয়ে পাই:\n$s = \frac{1}{2} \cdot \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} \cdot \left(\frac{t f_1 f_2}{f_1 + f_2}\right)^2 = \frac{t^2 f_1 f_2}{2(f_1 + f_2)}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ অনুসারে, বস্তুটি $A$ বিন্দু হতে আনুভূমিকের সাথে $\alpha = 45^\circ$ কোণে প্রক্ষিপ্ত হয়।\nধরি, $A$ বিন্দু মূলবিন্দু $(0, 0)$।\nপ্রক্ষেপকটি $C$ বিন্দুতে দেওয়াল অতিক্রম করার সময় এর বেগের দিক আনুভূমিকের সমান্তরাল হয় না, বরং উদ্দীপকের চিত্রে দেখানো হয়েছে প্রক্ষেপকের গতিপথ $C$ শীর্ষবিন্দুগামী যার পাদবিন্দু $D$। চিত্রে $AD = a$ এবং $DB = b$ দেওয়া আছে।\nঅতএব, আনুভূমিক পাল্লা $R = AD + DB = a + b$।\n\nপ্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ:\n$y = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)$\n\n$C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a, y)$, যেখানে $y = CD$ (দেওয়ালের উচ্চতা)।\n\nমান বসিয়ে পাই:\n$CD = a \tan 45^\circ \left(1 - \frac{a}{a+b}\right)$\n$\implies CD = a \cdot 1 \cdot \left(\frac{a + b - a}{a + b}\right)$\n$\implies CD = \frac{ab}{a+b}$ (প্রমাণিত)।