উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশের প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি সংশোধন করে আদর্শ বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ হিসেবে ধরা হয়েছে।

   ধরি, $I = \int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$

   $= \int \left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right) dx$
   $= \int (1 + \sin x) dx$
   $= \int 1 \, dx + \int \sin x \, dx$
   $= x - \cos x + c$
   (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

   উত্তর: $x - \cos x + c$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশের প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি সংশোধন করে আদর্শ বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ হিসেবে ধরা হয়েছে।

   প্রদত্ত বক্ররেখা: $y = f(x) = \frac{\ln x}{x^2+1}$

   $x = 2$ হলে,
   $y = \frac{\ln 2}{2^2+1} = \frac{\ln 2}{5}$
   অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(2, \frac{\ln 2}{5}\right)$।

   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(\ln x) - \ln x \frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2}$
   $= \frac{(x^2+1)\cdot \frac{1}{x} - 2x\ln x}{(x^2+1)^2}$
   $= \frac{x^2+1 - 2x^2\ln x}{x(x^2+1)^2}$

   $x = 2$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল ($m$):
   $m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2} = \frac{2^2+1 - 2(2^2)\ln 2}{2(2^2+1)^2} = \frac{5 - 8\ln 2}{2 \times 25} = \frac{5 - 8\ln 2}{50}$

   অতএব, $\left(2, \frac{\ln 2}{5}\right)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - y_1 = m(x - x_1)$
   $\Rightarrow y - \frac{\ln 2}{5} = \frac{5 - 8\ln 2}{50}(x - 2)$
   $\Rightarrow 50y - 10\ln 2 = (5 - 8\ln 2)(x - 2)$
   $\Rightarrow (5 - 8\ln 2)x - 50y - 2(5 - 8\ln 2) + 10\ln 2 = 0$
   $\Rightarrow (5 - 8\ln 2)x - 50y - 10 + 16\ln 2 + 10\ln 2 = 0$
   $\Rightarrow (5 - 8\ln 2)x - 50y + 26\ln 2 - 10 = 0$

   উত্তর: $(5 - 8\ln 2)x - 50y + 26\ln 2 - 10 = 0$

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশের প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি সংশোধন করে আদর্শ বোর্ড প্রশ্ন অনুযায়ী $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ হিসেবে ধরা হয়েছে।

   প্রদত্ত রাশি:
   $I = \int_{0}^{1} f(x) \cdot g(x) \, dx$

   উদ্দীপক হতে,
   $f(x) \cdot g(x) = \frac{\ln x}{x^2+1} \cdot (x^2+1) = \ln x$

   অতএব, $I = \int_{0}^{1} \ln x \, dx$

   আমরা জানি, অনির্দিষ্ট যোগজ:
   $\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln x - x$

   যেহেতু $x = 0$ বিন্দুতে $\ln x$ অসংজ্ঞায়িত, তাই এটি একটি অপ্রকৃত যোগজ (improper integral):
   $I = \lim_{t \to 0^+} \int_{t}^{1} \ln x \, dx$
   $= \lim_{t \to 0^+} [x\ln x - x]_{t}^{1}$
   $= (1\cdot \ln 1 - 1) - \lim_{t \to 0^+} (t\ln t - t)$
   $= (0 - 1) - (0 - 0) \quad [\because \lim_{t \to 0^+} t\ln t = 0]$
   $= -1$

   উত্তর: $-1$