উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

aˉ=2ı^+3ȷ^−k^,bˉ=ı^−2ȷ^,cˉ=ı^+pȷ^+2k^\bar{a}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-\widehat{k}, \bar{b}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}, \bar{c}=\hat{\imath}+p \hat{\jmath}+2 \widehat{k} এবং dˉ=3ı^−ȷ^+2k^\bar{d}=3 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+2 \widehat{k}

  1. ক)

    A(2,−3,1)A(2,-3,1) এবং B(−1,0,4)B(-1,0,4) হলে AB→\overrightarrow{A B} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    bˉ\bar{b} ও cˉ\bar{c} এর মধ্যবর্তী কোণ 45∘45^{\circ} হলে pp এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    aˉ\bar{a} এবং dˉ\bar{d} যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A(2,−3,1)A(2, -3, 1) এবং B(−1,0,4)B(-1, 0, 4)।

    AA ও BB বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
    OA⃗=2ı^−3ȷ^+k^\vec{OA} = 2\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + \hat{k}
    OB⃗=−ı^+0ȷ^+4k^=−ı^+4k^\vec{OB} = -\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 4\hat{k} = -\hat{\imath} + 4\hat{k}

    অতএব, AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}
    =(−ı^+4k^)−(2ı^−3ȷ^+k^)= (-\hat{\imath} + 4\hat{k}) - (2\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + \hat{k})
    =(−1−2)ı^−(−3)ȷ^+(4−1)k^= (-1 - 2)\hat{\imath} - (-3)\hat{\jmath} + (4 - 1)\hat{k}
    =−3ı^+3ȷ^+3k^= -3\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 3\hat{k}

    সুতরাং, AB⃗\vec{AB} এর মান:
    ∣AB⃗∣=(−3)2+32+32=9+9+9=27=33|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    b⃗=ı^−2ȷ^\vec{b} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath}
    c⃗=ı^+pȷ^+2k^\vec{c} = \hat{\imath} + p\hat{\jmath} + 2\hat{k}
    এবং b⃗\vec{b} ও c⃗\vec{c} এর মধ্যবর্তী কোণ θ=45∘\theta = 45^\circ

    আমরা জানি,
    b⃗⋅c⃗=∣b⃗∣∣c⃗∣cos⁡θ\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta

    এখানে,
    b⃗⋅c⃗=(1)(1)+(−2)(p)+(0)(2)=1−2p\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(p) + (0)(2) = 1 - 2p
    ∣b⃗∣=12+(−2)2=1+4=5|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
    ∣c⃗∣=12+p2+22=1+p2+4=p2+5|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + p^2 + 2^2} = \sqrt{1 + p^2 + 4} = \sqrt{p^2 + 5}

    শর্তমতে,
    1−2p=5⋅p2+5⋅cos⁡45∘1 - 2p = \sqrt{5} \cdot \sqrt{p^2 + 5} \cdot \cos 45^\circ
    ⇒1−2p=5(p2+5)⋅12\Rightarrow 1 - 2p = \sqrt{5(p^2 + 5)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
    ⇒2(1−2p)=5p2+25\Rightarrow \sqrt{2}(1 - 2p) = \sqrt{5p^2 + 25}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    2(1−2p)2=5p2+252(1 - 2p)^2 = 5p^2 + 25
    ⇒2(1−4p+4p2)=5p2+25\Rightarrow 2(1 - 4p + 4p^2) = 5p^2 + 25
    ⇒2−8p+8p2=5p2+25\Rightarrow 2 - 8p + 8p^2 = 5p^2 + 25
    ⇒3p2−8p−23=0\Rightarrow 3p^2 - 8p - 23 = 0

    দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
    p=−(−8)±(−8)2−4(3)(−23)2⋅3p = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-23)}}{2 \cdot 3}
    =8±64+2766= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 276}}{6}
    =8±3406= \frac{8 \pm \sqrt{340}}{6}
    =8±2856= \frac{8 \pm 2\sqrt{85}}{6}
    =4±853= \frac{4 \pm \sqrt{85}}{3}

    যেহেতু মধ্যবর্তী কোণ 45∘45^\circ সূক্ষ্মকোণ, তাই ডট গুণন b⃗⋅c⃗=1−2p>0\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 - 2p > 0 হতে হবে, অর্থাৎ p<12=0.5p < \frac{1}{2} = 0.5।
    এখানে, 4+853≈4+9.223=4.41>0.5\frac{4 + \sqrt{85}}{3} \approx \frac{4 + 9.22}{3} = 4.41 > 0.5 (গ্রহণযোগ্য নয়)
    এবং 4−853≈4−9.223=−1.74<0.5\frac{4 - \sqrt{85}}{3} \approx \frac{4 - 9.22}{3} = -1.74 < 0.5 (গ্রহণযোগ্য)

    অতএব, p=4−853p = \frac{4 - \sqrt{85}}{3} (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    a⃗=2ı^+3ȷ^−k^\vec{a} = 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - \hat{k}
    d⃗=3ı^−ȷ^+2k^\vec{d} = 3\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 2\hat{k}

    a⃗\vec{a} এবং d⃗\vec{d} যে সমতলে অবস্থিত তার ওপর লম্ব ভেক্টর হলো এদের ক্রস গুণন a⃗×d⃗\vec{a} \times \vec{d}।

    a⃗×d⃗=∣ı^ȷ^k^23−13−12∣\vec{a} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}
    =ı^(6−1)−ȷ^(4−(−3))+k^(−2−9)= \hat{\imath}(6 - 1) - \hat{\jmath}(4 - (-3)) + \hat{k}(-2 - 9)
    =5ı^−7ȷ^−11k^= 5\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} - 11\hat{k}

    a⃗×d⃗\vec{a} \times \vec{d} এর মান:
    ∣a⃗×d⃗∣=52+(−7)2+(−11)2|\vec{a} \times \vec{d}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-11)^2}
    =25+49+121=195= \sqrt{25 + 49 + 121} = \sqrt{195}

    সুতরাং, a⃗\vec{a} এবং d⃗\vec{d} এর সমতলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর:
    η^=±a⃗×d⃗∣a⃗×d⃗∣\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{d}}{|\vec{a} \times \vec{d}|}
    =±5ı^−7ȷ^−11k^195= \pm \frac{5\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} - 11\hat{k}}{\sqrt{195}} (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন